期末诊断提分卷 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学期末诊断卷，通过书架设计、采购优惠等生活情境，结合《九章算术》文化素材及“启衡和谐线”创新定义，考查代数几何综合应用，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|相反意义的量、科学记数法等|第6题以隧道设计考“两点之间线段最短”，体现数学眼光| |填空题|6题18分|代数式、时钟角度等|第14题用《九章算术》追及问题，渗透文化传承| |解答题|8题72分|方程求解、尺规作图等|24题“启衡和谐线”定义探究，23题采购方案建模，考查推理能力与应用意识|

期末诊断提分卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列是具有相反意义的量的是 ( ) A.运进20吨和卖出15吨 B.上升3米和下降5米 C.气温上升8 ℃和湿度降低6% D.盈利13万元和支出8000元 2.第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218 360 000，将218 360 000用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3.下列比较大小正确的是 ( ) A.-1>-0.01 B.-1-21<0 C. D. 4.若关于x的一元一次方程3x+m=9的解为x=1，则m的值为( ) A.6 B.-6 C.12 D.-2 5.一个正方形的边长为a米，若其面积为24平方米，则a介于哪两个相邻整数之间 ( ) A.3与4 B.4与5 C.5与6 D.6与7 6.下列生活现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”解释的是 ( ) A.汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净 B.开山挖隧道，把盘山公路改为平直的隧道 C.抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D.建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙 7.已知 B=3-(x-3y),且x与y互为相反数，则A+B等于 ( ) A.6 B.4 C.2 D.0 8.将一副直角三角尺按下列选项中的位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是 ( ) 9.如图,B是线段AC的中点,点D 在线段AB上,点E 在线段AD上,若BC=5,CD=m,DE=2AE,则DE的长为 ( ) A. B.10-m C. D.5-m 10.某校进行阅读角书架设计活动，如图所示的是其中一种书架平面设计图，它是由6个大小不同的正方形①~⑥和1个长方形⑦组成的大正方形.若正方形③与正方形⑥的周长之和是25.2dm，则长方形⑦的周长为 ( ) A.9.8 dm B.11.2d m C.12.6 dm D.14 dm 二、填空题(每小题3分，共18分) 11.用代数式表示“x的2倍与1的和”: . 12.时钟显示的时间为4时30分，则时针与分针所夹的锐角度数为 °. 13.定义一种运算： 例如： 若m⊗3的值为5，则 的值为 . 14.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他，则速度快的人追上他需要 分钟. 15.如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影.按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为 (用含 n的式子表示). 16.如图所示的是2025年1月份的月历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数(两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动).设“横3”覆盖的数之和为m,“竖3”覆盖的数之和为n,若m-n=3,则m+n的最小值为 . 三、解答题(共72分)(答案含评分细则) 17.(8分)计算: 18.(8分)解方程: (1)2(x-2)=3(4x-1)+9. 19.(8分)(1)化简: (2)先化简，再求值： 其中 20.(8分)如图,已知A,B,C,D四点,请用尺规作图完成.(保留画图痕迹) (1)画直线AB,射线AC,线段BC. (2)延长线段BC到E,使得BE=AB+BC. (3)连结BD,在线段BD上取点 P,使PA+PC的值最小. 21.(8分)如图,直线AB和CD 相交于点O,射线OE在∠AOC 内部,射线OF 在∠AOD 内部,∠COE与∠DOF互余,OA 平分∠COF. (1)当∠BOD=50°时,求∠COE 的度数. (2)当∠BOF=4∠COE时,求∠AOE 的度数. 22.(10分)观察下面的等式： ……根据其中的规律，解决下列问题： 【尝试】写出关于a₆的等式. 【归纳】写出关于 an(n为正整数)的等式. 【运用】求 的值. 23.(10分)某校开展对联创作大赛，需为每个参赛小组准备创作用品：1卷丝带和2支记号笔，学校计划一次性购齐所需的创作用品.现有两家商店出售相同的丝带和记号笔，零售价一致，但优惠方式不同，具体如下： 商品信息 【商品】丝带 【零售价】12元/卷 【商品】记号笔 【零售价】1.5元/支 优惠信息 甲：每满200元减30元，上不封顶 乙：(1)若购买丝带不超过50卷，则每买一卷丝带送一支记号笔. (2)若购买丝带超过50卷，则前50卷丝带送50支记号笔，超过50卷的部分，丝带打七折，记号笔不参加打折活动 (1)若需采购50组创作用品，分别计算在甲、乙两家商店购买的实际费用，并说明在哪家商店购买更实惠. (2)若从乙商店采购n(n>50)组创作用品，用含n的代数式表示购买的总费用. (3)该校在乙商店花费960元，恰好购齐了所需的创作用品，请问共有多少组学生参与此次活动? 24.(12分)定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足：其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“启衡和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧,若PS平分∠RPT,则有∠RPT=2∠RPS,所以我们称射线 PR 是射线 PS,PT 的“启衡和谐线”. (1)如图1，射线PT是不是射线PR，PS的“启衡和谐线”?并说明理由. (2)如图2,点O在直线MN上,OA⊥MN,∠AOB=40°,射线OC从ON出发,绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止. ①当射线 OA 是射线OB，OC的“启衡和谐线”时，求t的值. ②若在射线OC 旋转的同时，∠AOB 绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB，当射线OC位于射线OD 左侧且射线OC 是射线 OM，OD 的“启衡和谐线”时,求∠CON 的度数. 1. B A.运进对应运出，卖出对应买入，故运进20吨和卖出15吨不是具有相反意义的量；B.上升3米和下降5米是具有相反意义的量；C.气温和湿度是不同物理量，故气温上升8℃和湿度降低6%不是具有相反意义的量；D.盈利对应亏损，支出对应收入，故盈利13万元和支出8000元不是具有相反意义的量.故选 B. 2. D 218360 000=2.183 6×10⁸.故选 D. 3. B 4. A 把x=1代入关于x的一元一次方程3x+m=9中,得3+m=9,解得m=6,故选A. 5. B 由题意得 且a>0, 所以 因为16<24<25, 所以 所以 ，即 介于4与5之间， 故选B. 6. B汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净，根据是线动成面，故A 不合题意； 开山挖隧道，把盘山公路改为平直的隧道，根据两点之间线段最短，故B符合题意； 抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，根据点动成线，故C不合题意； 建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙，根据是两点确定一条直线，故D 不合题意. 故选 B. 7. A 因为 所以 =3x-y+3 =2x+2y+6, 因为x与y互为相反数， 所以x+y=0, 所以A+B=2(x+y)+6=2×0+6=0+6=6,故选 A. 8. B 如图: 因为∠α=90°-∠1,∠β=90°-∠1,所以∠α=∠β,故B符合题意.故选B. 9. A 因为BC=5,点B 是线段AC的中点, 所以AC=2BC=2×5=10. 因为CD=m, 所以AD=AC-CD=10-m. 因为DE=2AE, 所以AD=AE+DE=AE+2AE=3AE, 所以 故选 A. 10. C 设正方形①,正方形②的边长分别为a dm,b dm, 所以正方形③的边长为(a+b)dm，所以正方形④的边长为(2a+b) dm,所以正方形⑤的边长为(3a+b) dm,所以正方形⑥的边长为3a+b-(b-a)=4a dm,所以长方形⑦的长为a+b+b=(a+2b) dm,宽为(4a-b) dm, 所以长方形②的周长为2(a+2b+4a-b)=(10a+2b) dm, 因为正方形③与正方形⑥的周长之和是25.2d m，所以4(a+b)+4×4a=25.2, 所以20a+4b=25.2, 所以10a+2b=12.6, 所以长方形②的周长为12.6 dm，故选C. 11.答案 2x+1 解析 x的2倍与1的和可以表示为2x+1. 12.答案 45 解析 如图，钟面上4时30分时，时针与分针所夹的锐角度数为360°÷ 12×2-360°÷ 12×0.5=45°. 13.答案 -10 解析 由题意得 所以 故答案为-10. 14.答案 2.5 解析 设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人,根据题意可得100+60x=100x,解得x=2.5.故速度快的人需要2.5分钟才能追上速度慢的人. 15.答案 3n+2 解析 由题图可知， 第1个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5=1×3+2; 第2个图案中涂有阴影的小正方形的个数为8=2×3+2; 第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数为11=3×3+2; …… 所以第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为3n+2. 16.答案 51 解析 由题意知，横向覆盖的3个数的和为中间数的3倍，竖向覆盖的3个数的和为中间数的3倍，因为“横3”覆盖的数之和为m，“竖3”覆盖的数之和为n,且m-n=3,所以 即横向与竖向中间两数的差为1. 由题中所给月历可知， 当横向3个数为8,9,10,竖向3个数为1,8,15时，满足m+n取得最小值， 此时 则m=27,n=24, 所以m+n=27+24=51. 17.解析 (1)原式 (2分) =5+2-12 (3分) =-5. (4分) (2)原式 (5分) (6分) =-3+1 (7分) =-2. (8分) 18.解析 (1)2(x-2)=3(4x-1)+9, 去括号得2x-4=12x-3+9, 移项得2x-12x=-3+9+4, 合并同类项得-10x=10, 系数化为1得x=-1. (4分) 去分母得4(x-3)-3(2x-5)=12, 去括号得4x-12-6x+15=12, 移项得4x-6x=12-15+12, 合并同类项得-2x=9， 系数化为1得.x=-4.5. (8分) 19.解析 (1)原式 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) (2)原式 (5分) (6分) 当a=-4, 时， 原式 =16. (8分) 20.解析 (1)如图,直线AB,射线AC,线段BC 即为所求. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分) (2)如图,点E 即为所求. (5分) (3)如图,线段BD,点P 即为所求. (8分) 21.解析 (1)因为∠COE 与∠DOF 互余, 所以∠COE+∠DOF=90°, 所以∠EOF=180°-90°=90°, 因为∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC=180°, 所以∠AOC=∠BOD=50°, 因为OA平分∠COF, 所以∠AOC=∠AOF=50°, 所以∠COF=2∠AOC=100°, 所以∠COE=100°-90°=10°, (4分) (2)设∠COE=α, 因为∠COE 与∠DOF 互余,所以∠DOF=90°-α, 因为∠BOF=4∠COE,所以∠BOF=4α, 所以∠BOD=∠BOF-∠DOF=4α-(90°-α)=5α-90°, 因为∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC=180°, 所以∠AOC=∠BOD, 因为OA平分∠COF,所以∠AOC=∠AOF, 所以∠BOD=∠AOC=∠AOF=5α-90°, 因为∠AOF+∠BOF=180°, 所以5α-90°+4α=180°,解得α=30°, 所以∠COE=30°,∠AOC=5α-90°=60°, 所以∠AOE=60°-30°=30°. (8分) 22.解析 【尝试】 (3分) 【归纳 (6分) 运用 (8分) 把n=20代入,得 (10分) 23.解析 (1)甲商店：50组创作用品的原价为50×12+50×2×1.5=750(元), 因为750÷200=3……150, 所以实际费用为750-3×30=660(元), 乙商店：买50卷丝带送50支记号笔，需再买记号笔50×2-50=50支， 实际费用为50×12+50×1.5=675(元). 因为660<675, 所以在甲商店购买更实惠. (3分) (2)当 n>50时,丝带费用为[50×12+(n-50)×12×0.7]元,记号笔费用为[(2n-50)×1.5]元, 所以购买总费用为50×12+(n-50)×12×0.7+(2n-50)×1.5=(11.4n+105)元. ⋯⋯⋯⋯⋯ (6分) (3)设共有m组学生参与此次活动. 分两种情况讨论： ①当m≤50时,总费用为12m+1.5m=13.5m(元),则有13.5m=960, 解得m≈71.1,舍去; ②当m>50时,由(2)知,总费用为(11.4m+105)元, 则有11.4m+105=960, 解得m=75. 答：共有 75组学生参与此次活动 (10分) 24.解析 (1)是:理由如下: 因为 PS平分∠RPT, 所以∠RPT=2∠TPS, 所以射线PT是射线PR，PS 的“启衡和谐线”. (4分) (2)①由题意得,∠AOC=90°-4t°, 因为射线OA 是射线OB，OC的“启衡和谐线”， 所以∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC. 如图1,当∠AOC=2∠AOB时, 90-4t=2×40,解得 (6分) 如图2,当∠AOB=2∠AOC时, 40=2(90-4t),解得 综上，当射线OA 是射线 OB，OC的“启衡和谐线”时，t的值为或 ⋯⋯⋯⋯⋯(8分) ②由题意得,∠CON = 4t°,∠AON= 90°+2t°,∠AOD=20°,∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2t°,当射线 OC 与射线 OA 重合时，运动停止，此时∠AON=∠CON, 所以90+2t=4t,解得t=45, 所以当t=45时，运动停止， 此时∠AON=180°, 因为射线OC位于射线OD 左侧且射线OC 是射线OM,OD的“启衡和谐线”,, 所以∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM. 如图1,当∠COM=2∠COD时, 180°-∠CON=2（∠CON-∠DON）, 即180-4t=2(4t-70-2t) 解得t=40, 所以∠CON=4°×40=160°. (10分) 如图2,当∠COD=2∠COM时, ∠CON-∠DON=2(180°-∠CON), 即4t-(70+2t)=2(180-4t), 解得t=43, 所以∠CON=4°×43=172°. 综上,∠CON的度数为160°或172°. ······ (12分) 学科网（北京）股份有限公司 $