3.1.1函数的概念第一课时导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的概念”第一课时，核心内容包括用集合语言定义函数及三要素，通过初中变量依赖关系导入，以核心知识梳理的表格填空为支架，衔接旧知与新知，引导学生完成从变量定义到集合对应定义的思维转换。 特色在于分层跟踪训练适配不同学生需求，典例精析结合概念判断、三要素辨析及实际情境构建，提升数学抽象和运算素养，培养学生用数学眼光观察、用数学语言表达现实世界的能力。

3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第一课时函数的概念 【学习目标】 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； ②体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； ③了解构成函数的要素，能求鉴定函数的定义域； ④通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养； ⑤通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养. 【学习重点】 掌握集合语言下的函数定义、函数三要素，会通过解析式、图象、表格判断函数，能求函数值、构建实际函数情境. 【学习难点】 透彻理解函数定义中 “任意有唯一对应” 的核心要求，完成从初中变量定义到高中集合对应定义的思维转换，并结合定义域、值域综合辨析函数图象与对应关系. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.函数的概念 定义 一般地，设是非空的_______，如果对于集合中的__________，按照某种确定的对应关系，在集合中都有________的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数， 三要素 对应关系 ____________ 定义域 ___的取值范围 值域 与的值对应的的函数值的集合____________，是集合的_____ 2.基本初等函数的三要素 函数 相应关系 定义域 值域 一次函数 ____ ____ 二次函数 ____ ___________ ___________ 反比例函数 __________ _________ 二、典例精析 题型1 函数的概念及其判断 例1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 例2.已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ）． A． B． C． D． 方法总结：判断一个对应关系是否为函数的方法 题型2 函数的三要素 例3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   例4．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是，其定义如下表： x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 2 1 3 g(x) 1 3 2 则f（g(3)）＝_____． 反思领悟：关于函数的三要素 题型3 构建问题情境 例5．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式描述． 方法总结：构建问题情境的步骤 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法正确的是（　　） A．函数的定义域和值域可以是空集 B．函数的定义域和值域一定是数集 C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 3．（多选题）下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表： 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 3 2 填写下列的表格，其三个数依次为（    ） 1 2 3 A．3，1，2 B．2，1，3 C．1，2，3 D．3，2，1 5．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个. 7.如果函数，其中，对于任意，在中都有唯一确定的和它对应，则函数的值域为________ 8．一个小球被抛出后经过6s落地，小球在空中运动时与地面的最大距离为9m，且小球的高度与运动时间之间的关系为，求该关系所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义来描述这个函数. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 10．已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（    ）种． A．4 B．6 C．7 D．9 11．设f：是集合A到集合B的函数，如果，则可能是（   ） A． B． C． D． 12．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第一课时函数的概念 【学习目标】 ①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念； ②体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用； ③了解构成函数的要素，能求鉴定函数的定义域； ④通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养； ⑤通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养. 【学习重点】 掌握集合语言下的函数定义、函数三要素，会通过解析式、图象、表格判断函数，能求函数值、构建实际函数情境. 【学习难点】 透彻理解函数定义中 “任意有唯一对应” 的核心要求，完成从初中变量定义到高中集合对应定义的思维转换，并结合定义域、值域综合辨析函数图象与对应关系. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.函数的概念 定义 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数， 三要素 对应关系 定义域 的取值范围 值域 与的值对应的的函数值的集合，是集合的子集 2.基本初等函数的三要素 函数 相应关系 定义域 值域 一次函数 二次函数 反比例函数 二、典例精析 题型1 函数的概念及其判断 例1．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 答案：B 思路分析：根据函数的定义逐项分析判断，重点在对应关系下集合中元素与集合中元素的对应. 规范解答： 对于A：当时，函数没有意义，即集合中的元素在集合中没有对应的，不满足函数定义，A错误； 对于B：当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，满足函数定义，B正确； 对于C：当时，函数没有意义，即集合中的负数在集合中没有对应的，不满足函数定义，C错误； 对于D：令，由，得，即集合中的一个对应集合中的两个，不满足函数定义，D错误. 故选：B 例2.已知集合，，则下列四个图形中能表示从集合到集合的函数关系的是（   ）． A． B． C． D． 答案：B 思路分析：根据各项的图象，结合已知及函数的定义分析判断是否存在函数关系即可. 规范解答： 对于A：任取一条垂直于轴的直线，当在与之间时，与图形无交点，即没有函数值与之对应，不符合函数定义，A错误； 对于B：任取一条垂直于轴的直线，当在和之间时，与图形有且只有一个交点，即均有唯一确定的函数值与之对应，符合函数定义，B正确； 对于C：任取一条垂直于轴的直线，当在和之间时，存在与图形的交点的纵坐标大于2，即对应的函数值不在区间内，不符合函数定义，C错误； 对于D：任取一条垂直于轴的直线，当在和之间时，与图形有两个交点，即对应有两个函数值，不符合函数定义，D错误. 故选：B 方法总结：判断一个对应关系是否为函数的方法 （1）根据函数的概念判断： ①是非空数集；②中元素与中元素存在“一对一”或“多对一”③中所有元素都有对应. （2）根据图形判断 ①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若直线与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或由两个或两个以上的交点，则不是函数. 题型2 函数的三要素 例3．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   答案：D 思路分析：根据图意，写出定义域和值域，再与条件对照得解. 规范解答：对于A，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于B，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于C，一个自变量对应两个函数值，不是函数，与条件矛盾，错误； 对于D，定义域为，值域为，与条件吻合，正确； 故选：D. 例4．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是，其定义如下表： x 1 2 3 x 1 2 3 f(x) 2 1 3 g(x) 1 3 2 则f（g(3)）＝_____． 答案：1 思路分析：根据已知条件，结合表中数据，即可求解． 规范解答：由表中的数据可知，，，所以f（g(3)）＝f(2)＝1． 故答案为：1． 反思领悟：关于函数的三要素 （1）函数的定义域及集合，在坐标系中是横坐标的取值范围； （2）函数的值域并不是集合，是函数值的集合，在坐标系中是纵坐标的取值范围； （3）函数的对应关系反映了自变量的运算或对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的一个函数值. 题型3 构建问题情境 例5．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式描述． 思路分析：观察解析式结构：，这是二次增长模型，15是初始量，x是增长率，指数2代表经过 2 次增长，属于复利或增长率模型可以选产值、产量、存款、面积等现实情境. 规范解答：如果对x的取值范围作出限制，例如，可以构建如下情境： 某电商2018年利润为15万元，设利润的年平均增长率为x，预计2020年利润为y万元，那么， 其中x的取值范围是A={x|0<x<1}，y的取值范围是B={y|15<y<120}， 对应关系f把每一个增长率x，对应到唯一确定的利润． 方法总结：构建问题情境的步骤 （1）情境选材：①实际生活情境——行程、造价、面积体积、利润、增长率、收费方案等；②纯数学情境——几何图形动态变化、动点问题等； （2）识别变量，区分常量与变量：①自变量——主动变化的量（长度、时间、数量、角度等）；②因变量——随唯一确定的量（面积、成本、距离、收益等） （3）建立等量关系，列出方程. （4）确定定义域：结合情境实际意义限制自变量范围; （5）规范写出函数表达式：标准格式. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．下列图象中，能表示定义域和值域均为的函数图象的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：由函数定义：任意自变量有且仅有一个函数值与之对应，排除第三个图； 第一个图中定义域不为，第二个图值域不为， 所以，只有最后一个图满足题设. 故选：B 2．下列说法正确的是（　　） A．函数的定义域和值域可以是空集 B．函数的定义域和值域一定是数集 C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 答案：B 解析：对于AB，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误，B正确； 对于C，函数中，，即值域中的数字在定义域中有两个数字与之对应，C错误； 对于D，函数与的定义域和值域均相同，但对应关系不相同，D错误. 故选：B. 3．（多选题）下列对应关系是从到的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 答案：AD 解析：根据函数定义，集合中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于B，A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于C，A中元素时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误； 对于D，A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确； 故选：AD． 4．已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表： 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 3 2 填写下列的表格，其三个数依次为（    ） 1 2 3 A．3，1，2 B．2，1，3 C．1，2，3 D．3，2，1 答案：D 解析：，， ，， ，. 故选：D. 5．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 答案：C 解析：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 6．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个. 答案：9 解析：由函数的解析式为y＝x2，值域为{1,4}， ∴函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能， ∴这样的函数共9个. 故答案为：9. 7.如果函数，其中，对于任意，在中都有唯一确定的和它对应，则函数的值域为________ 答案： 解析：因为，由互异性可得函数的值域为. 8．一个小球被抛出后经过6s落地，小球在空中运动时与地面的最大距离为9m，且小球的高度与运动时间之间的关系为，求该关系所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义来描述这个函数. 答案：，，答案见解析 解析：定义域为， 因为，则值域为， 对应关系把集合中的任意一个数，对应到集合中唯一确定的数. 【能力提升】（多数必做） 9．已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 答案：C 解析：因为，所以． 故选：C． 10．已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（    ）种． A．4 B．6 C．7 D．9 答案：B 解析：由集合，，f：为定义在集合上的一个函数， 根据函数的定义知： 若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况； 若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况， 所以函数的值域的不同情况有种. 故选：B. 11．设f：是集合A到集合B的函数，如果，则可能是（   ） A． B． C． D． 答案：AC 解析：由f：是集合A到集合B的函数，如果， 由，可得；由，可得； 则或或或 或或或或或. 所以或. 故选：AC. 12．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 解析： 若限制的取值范围，例如，则可以构建如下情境： 某地“桃花节”的观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2021年约有10万人次，设观赏人数的年平均增长率为，2023年观赏人数为万，则. 其中x的取值范围是，y的取值范围是． 对应关系把每一个增长率x都对应到唯一确定的观赏人数. 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 (1) 核心概念：函数的集合与对应定义；函数的三要素（定义域、对应关系、值域）；函数的判定；离散型函数值域求解；实际情境构建函数解析式； (2) 工具：函数定义判定依据；抽象与建模、逻辑推理思想； (3) 解题核心：判断函数抓住 “集合 A 中任意x，都有唯一y与之对应”；实际函数建模要写明自变量实际取值范围，注意无意义情形排除。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $