第十讲 函数表示法 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数表示法，核心涵盖求函数解析式的换元法、配凑法等五种方法及基本初等函数的值域求解。通过复习函数定义搭建学习支架，引导学生从已知定义域过渡到解析式求法，衔接前后知识脉络。 资料亮点在于方法步骤标准化（如换元法四步流程）、题型分类系统（按方法设题型），结合例题与巩固题，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言的应用意识，助力学生高效掌握解题方法，提升函数学习的系统性与实践性。

第十讲 函数表示法 【学习目标】会用待定系数法、换元法、配凑法、方程组法求函数的解析式. 【学习重点】学会用恰当的方法求函数的解析式. 【学习难点】求复合函数和分段函数的解析式，求函数的值域 必掌握知识点 一.求函数解析式的常用方法： 1.换元法 已知复合函数 ，式子结构复杂（带根号、分式，没法直接凑出 ），我们新设字母 代替中间整体 ，先求出 ，再把 换回 ，得到 。 标准四步解题流程: ① 设换元：令 ，一定要写出 的取值范围（定义域）； ② 反解 ：用含 的式子表示 ； ③ 整体代入：把原式里所有 、 全部换成 ，化简得到 ； ④ 换字母：把 统一写成 ，标注定义域。 2.配凑法 同样已知 ，但式子是整式、完全平方，不用新设变量，直接把右边代数式变形、凑出完整 ，直接整体替换得到 。 三步解题流程: ① 变形配凑：对右边因式分解、配方，全部写成 的组合； ② 整体替换：把 整体看成 ； ③ 写定义域：由 的值域确定 范围。 3.待定系数法 提前知道函数类型（一次 、二次、 多项式），先写出该函数标准通用形式，再代入已知点、已知函数值，列方程解出系数，得到解析式。 4.构造方程组法 等式里同时存在 和 、 ，自变量互为相反数或倒数，无法直接配凑 、 换元，构造两个方程联立消元。 四步解法: ① 原式记为方程①； ② 把所有替换成 或 ，得到方程②； ③ ①②联立，加减消去 、 ； ④ 化简得到。 5.赋值法求解析式 题目不给具体式子，只给抽象关系式（等），我们主动代入特殊数字 ，构造等式，化简求出解析式。 解题思路 根据抽象等式，人为取合适特殊值，消去多余变量，直接解出通用表达式。 二、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为； 当时，值域为 （3）的值域是． 必考题型全归纳 题型一 求函数解析式四大方法 1 配凑法 适用条件：已知复合函数，代数式能直接整理成只含的整体形式，不需要替换变量。 步骤： （1)对等式右侧代数式变形、配方，全部凑成中间整体； （2)将整体替换为，直接写出； （3）确定定义域：能取到的所有数值，就是的定义域，极易遗漏。 1.已知，求 解：右侧配凑整体：，令整体，则，，定义域。 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. 2. 换元法 适用条件：无法简单配凑，结构复杂。 解题步骤： （1)令，设中间变量； （2)用反解出，代入原式化简，得到； （3）把字母统一换成； （4）写出定义域：的取值范围。 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 5已知，求 解：令，，则， 代入：，得 3. 方程组法（消元法）求抽象函数 适用条件：函数等式中同时出现与、与两种自变量形式，无法直接配凑。 标准解题步骤： （1）原式记为方程①； （2）将式中所有替换成或，得到第二个方程②； (3)联立①②二元一次方程组，加减消元消去含的项； (4)化简解出，标注定义域。 6.已知函数满足，求的解析式． 解：借助方程组法，由可得，即可求出. （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 7. 已知，求 解： ① ② 替换： ②×2−①：，得 4. 待定系数法（按函数类型细分） (1) 一次函数待定系数法 8.已知为一次函数，，求 解：设，代入得，解得， 9．已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． （2） 二次函数待定系数法 二次通用三种解析式，按需选择： 一般式：已知任意三组函数值、y 轴截距用； 零点式：已知与 x 轴交点、截线段长度用； 顶点式：已知对称轴、顶点最值用。 10．已知是二次函数，且，，求的解析式； 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； 【答案】（1）； 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； 题型二 函数值域四大求解方法 1：代入枚举法（有限定义域） 知识点讲解：定义域为有限离散数，逐个代入解析式，收集所有输出值即为值域。 11．函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 2：判别式法（分式二次型函数） 知识点讲解：形如，整理成关于 x 一元二次方程，方程有实数解则，解 y 范围即值域。 12．函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得，此时，且， ∴综上，函数的值域为， 13．求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 14．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 15．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 【答案】2 【解析】化简得到，根据和得到，解得答案. 【详解】，则，则， 即，，故， ，即，即， . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键. 3：配方法、换元法（二次、复合函数） 知识点讲解：二次式配方求最值；含根号、分式换元转化为二次函数，结合自变量范围求值域。 16．若函数的值域是，则函数的值域是________． 【答案】 【详解】，，， ，即函数的值域为 4：分段函数值域 知识点讲解：分段函数分区间分别求取值范围，最后取所有区间范围的并集。 17．函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 巩固提升： 1．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 2．已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【答案】2026 【分析】根据为多项式，再结合，可知函数为一次函数，设出解析式求解. 【详解】因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 3．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得③ 由①②③解得， 所以. 4．设，则，且__________. 【答案】0 【分析】由函数解析式，直接代入运算得解. 【详解】. 故答案为：0. 5．下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，有两个与之对应，错误； 对于C，函数图象中出现同一个有多个与之对应，错误； 对于D，函数图象中出现同一个有两个与之对应，错误； 对于B，图象符合函数的定义， 故选：B 6．下列命题正确的是（   ）. A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图象与直线的交点最多有1个 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，此不等式组无解，不是函数，A错误； 对于B，的值域为，的值域为R，它们不是相同函数，B错误； 对于C，由给定的图知，集合中没有元素与集合中元素2对应， 因此给定图形不是从集合到集合的函数，C错误； 对于D，函数的图象与垂直于轴的直线最多1个交点， 因此函数的图象与直线的交点最多有1个，D正确. 故选：D 7．如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】根据图（2）可知，，，，进而求得，再计算面积即可. 解：当点从点出发运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性增加， 所以，由图（2）可知，这段路程为，即， 同理，当从点运动到点的过程中，面积保持不变， 由图（2）知，这段路程为，即， 当从点运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性减少， 由图（2）知，这段路程为，即， 所以，在直角梯形中，过作于，则四边形是矩形， 所以， 所以，在中，易得，即 所以，的面积为 故选：B 8．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 9．已知函数，则____________． 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 10．设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】①由分段函数定义，将自变量转化到负半轴求值； ②利用分段函数分别表示正负半轴的函数值，代入待求式化简，解不等式确定参数范围并取一个值. 【详解】①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此. ②已知，故，得； 因为，得. 将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解， 解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得； 解左侧不等式，两边同乘得， 二次方程的正根为，故解得. 综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 11．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 12．函数，则______． 【答案】3 【详解】由题意可得，， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十讲 函数表示法 【学习目标】会用待定系数法、换元法、配凑法、方程组法求函数的解析式. 【学习重点】学会用恰当的方法求函数的解析式. 【学习难点】求复合函数和分段函数的解析式，求函数的值域 必掌握知识点 一.求函数解析式的常用方法： 1.换元法 已知复合函数 ，式子结构复杂（带根号、分式，没法直接凑出 ），我们新设字母 代替中间整体 ，先求出 ，再把 换回 ，得到 。 标准四步解题流程: ① 设换元：令 ，一定要写出 的取值范围（定义域）； ② 反解 ：用含 的式子表示 ； ③ 整体代入：把原式里所有 、 全部换成 ，化简得到 ； ④ 换字母：把 统一写成 ，标注定义域。 2.配凑法 同样已知 ，但式子是整式、完全平方，不用新设变量，直接把右边代数式变形、凑出完整 ，直接整体替换得到 。 三步解题流程: ① 变形配凑：对右边因式分解、配方，全部写成 的组合； ② 整体替换：把 整体看成 ； ③ 写定义域：由 的值域确定 范围。 3.待定系数法 提前知道函数类型（一次 、二次、 多项式），先写出该函数标准通用形式，再代入已知点、已知函数值，列方程解出系数，得到解析式。 4.构造方程组法 等式里同时存在 和 、 ，自变量互为相反数或倒数，无法直接配凑 、 换元，构造两个方程联立消元。 四步解法: ① 原式记为方程①； ② 把所有替换成 或 ，得到方程②； ③ ①②联立，加减消去 、 ； ④ 化简得到。 5.赋值法求解析式 题目不给具体式子，只给抽象关系式（等），我们主动代入特殊数字 ，构造等式，化简求出解析式。 解题思路 根据抽象等式，人为取合适特殊值，消去多余变量，直接解出通用表达式。 二、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为； 当时，值域为 （3）的值域是． 必考题型全归纳： 题型一 求函数解析式四大方法 1. 配凑法 适用条件：已知复合函数，代数式能直接整理成只含的整体形式，不需要替换变量。 步骤： （1)对等式右侧代数式变形、配方，全部凑成中间整体； （2)将整体替换为，直接写出； （3）确定定义域：能取到的所有数值，就是的定义域，极易遗漏。 1.已知，求 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2. 换元法 适用条件：无法简单配凑，结构复杂。 解题步骤： （1)令，设中间变量； （2)用反解出，代入原式化简，得到； （3）把字母统一换成； （4）写出定义域：的取值范围。 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5已知，求 3. 方程组法（消元法）求抽象函数 适用条件：函数等式中同时出现与、与两种自变量形式，无法直接配凑。 标准解题步骤： （1）原式记为方程①； （2）将式中所有替换成或，得到第二个方程②； (3)联立①②二元一次方程组，加减消元消去含的项； (4)化简解出，标注定义域。 6.已知函数满足，求的解析式． 7. 已知，求 4. 待定系数法（按函数类型细分） (1) 一次函数待定系数法 8.已知为一次函数，，求 9．已知函数是一次函数，若，则______． （2） 二次函数待定系数法 二次通用三种解析式，按需选择： 一般式：已知任意三组函数值、y 轴截距用； 零点式：已知与 x 轴交点、截线段长度用； 顶点式：已知对称轴、顶点最值用。 10．已知是二次函数，且，，求的解析式； 题型二 函数值域四大求解方法 1：代入枚举法（有限定义域） 知识点讲解：定义域为有限离散数，逐个代入解析式，收集所有输出值即为值域。 11．函数，的值域是___________. 2：判别式法（分式二次型函数） 知识点讲解：形如，整理成关于 x 一元二次方程，方程有实数解则，解 y 范围即值域。 12．函数的值域是______. 13．求函数的最大值、最小值. 14．若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 15．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 3：配方法、换元法（二次、复合函数） 知识点讲解：二次式配方求最值；含根号、分式换元转化为二次函数，结合自变量范围求值域。 16．若函数的值域是，则函数的值域是________． 4：分段函数值域 知识点讲解：分段函数分区间分别求取值范围，最后取所有区间范围的并集。 17．函数的值域为___________． 巩固提升： 1．求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 2．已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 3．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 4．设，则，且__________. 5．下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．下列命题正确的是（   ）. A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图象与直线的交点最多有1个 7．如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（   ） A．9 B．12 C．15 D．24 8．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知函数，则____________． 10．设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 11．已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 12．函数，则______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $