1.3 矩形的性质与判定(1) 同步练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦矩形的性质与判定，采用三级分层设计，从基础巩固到综合拓展，适配分层教学需求，培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|矩形性质与判定基础应用|含选择、填空及简单解答题，巩固定义、对角线性质及直角三角形中线推论| |B级能力提升|矩形性质与动态/综合问题|涉及动点、坐标系及等腰三角形分类，提升空间观念与运算能力| |C级综合拓展|矩形与折叠/菱形综合探究|折叠问题结合菱形判定与勾股定理，培养推理能力与创新意识|

第一章特殊平行四边形 第三节 矩形的性质与判定(1) 今日复习 1.有一个内角是 的平行四边形叫作矩形. 2.矩形特殊的性质： (1)矩形的四个角都是 ； (2)矩形的两条对角线互相 ，且 ； (3)推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . 名师点拨 1.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；矩形又是轴对称图形，有2条对称轴. 2.矩形被它的对角线分成四个全等的直角三角形和两组全等的等腰三角形. 3.矩形中，遇到对角线相交成60°或120°角时，常利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题. 课时三级达标 A级双基过手 1.(2026·金牛)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD是AC 边上的中线,过点C作CE⊥BD 于点 E.若∠A =38°,则∠DCE的度数是 . 2.(2026·青羊)如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD交CD 于点E,连接BE,F为BE 的中点,连接CF.若AB=3,AD=2,则CF的长为 . 3.(2026·武侯)如图,在矩形ABCD中,过对角线交点O作EF⊥AC交AD 于点E,交BC于点 F,连接EC,AB=4,ED=3,则△AOE 的面积为 . 4.(2026·双流)如图,在矩形 ABCD中,AC,BD相交于点O,DE平分∠ADC,分别交AC,BC 于点F,E.若∠BDE=10°,则∠CFE 的度数为 °. 5.(2026·编写)下列选项中，矩形具有而平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对边平行且相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 6.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是 ( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD 7.(2023·成华)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,E 是边AD的中点,点 F 在对角线 AC 上,且 AF= AC,连接EF.若AC=10,则EF的长为 ( ) A. B.3 C.4 D.5 8.(2026·金牛)如图,矩形OABC在平面直角坐标系内，点B 的坐标为(1,3),则对角线 AC的长为 ( ) A.4 D.2 9.(1)(2026·龙泉驿)如图,在△ABC中,点D在BC 上,AB=AD=13,BD=10,CD=11,E,F分别是AC,BD的中点,求EF 的长. (2)(2026·金牛)如图,在矩形ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,∠BAD的平分线 AE 交 BC 于 点 E.若∠AOB=50°,求∠OAE的度数. 10.(2026·编写)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC 交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC. (1)求证:OE=OF; (2)若 求AB的长. B级 能力提升 11.(2026·简阳)如图,在矩形ABCD中,O是对角线BD 的中点，E，F分别是BC，AD上的点,且AF=BE=1.若AB=3,BC=4,则OE+OF 的值为 . 12.(2026·金牛)如图,在矩形ABCD 中,E是AB 的中点,连接DE,CE,F是AD上一点,且 CF平分∠BCD 交DE 于点G,FE平分∠AFC,则∠FGE= . 13.(2026·武侯)如图，在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,6),C为x 轴正半轴上一动点，以OA，OC 为边作矩形OABC,E 为线段AB 的延长线上一点,且 D为OB 的中点,连接DE交BC 于点 F,连接CD.当△CDF 为等腰三角形时，点B 的坐标为 . 14.(2026·龙泉驿)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P 为射线AD 上的动点(不与点 A 重合),连接 BP,过点 C 作CE⊥BP,垂足为 E,F 为CE 的中点,连接DF，求线段DF长的最小值. C级 综合拓展 15.(2025·东部新区)如图 1,在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5,折叠纸片使点B落在AD 上的点 E 处,折痕为 PQ,过点E作EF∥AB交PQ 于点F. (1)求证:四边形 BFEP 为菱形; (2)如图 2,若 AP : BP=1:2,求CQ的长. 【今日复习】 1.直角 2.(1)直角 (2)平分 相等 (3)一半 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1.14° 3.5 4.100 5. C 6. C 7. A 8. B 9.(1)【解】如图,连接AF. ∵AB=AD=13,F是BD 的中点,BD=10, ∴∠AFD=90°,BF=FD=5, ∵CD=11, ∴FC=FD+CD=5+11=16, ∵E是AC的中点, ∴在 Rt△AFC中, (2)【解】在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O, ∴∠BAD=∠ABC=90°,OA=OB. ∵∠BAD的平分线AE 交BC 于点E, ∵∠AOB=50°, ∴∠OAE=∠OAB-∠BAE=65°-45°=20°. 10.(1)【证明】在矩形ABCD中,AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO. 在 △AOE 和 △COF 中, ∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF. (2)【解】如图,连接OB. ∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF, ∴在 Rt△BEO中,∠BEF+∠ABO=90°, 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知 OA=OB=OC,∴∠BAC=∠ABO. 又∵∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°, 解得，∠BAC=30°.∵BC=2 ,∴AC=2BC=4 B级(能力提升) 12.67.5°13.(3 ,6)或( 14.【解】如图,取 BC的中点G,取 CG 的中点 H,连接EG,FH,DH. ∵CE⊥BP,∴∠BEC=90°. ∵G是BC 的中点, ∵F,H分别是CE,CG的中点, ,FH 是△CEG的中位线, ∵DF≥DH-FH, ∴当D，F，H三点共线时，DF 有最小值，最小值为DH-FH的值. ∴DF 的最小值为 C级(综合拓展) 15.(1)【证明】由折叠,可得 BP =EP,FB = FE,∠BPF=∠EPF. ∵EF∥AB,∴∠BPF=∠PFE, ∴∠EPF=∠PFE,∴PE=EF. ∴PB=PE=BF=EF,∴四边形 BFEP 是菱形. (2)【解】如图,过点 Q作QH⊥AD于点 H. ∴AH=BQ,HQ=AB=3. AB=3,∴AP=1,PE=BP=2. 在 Rt△APE中，由勾股定理，可得 设BQ=x,则 由折叠,可得EQ=BQ=x. 在 Rt△EHQ 中,由勾股定理,得 解得 ∵BC=AD=5,∴CQ=BC-BQ=5-2 学科网（北京）股份有限公司 $