1.3 矩形的性质与判定 同步练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，通过基础概念辨析、中档推理计算、拔高综合应用三层设计，构建从单一知识点到跨图形综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质（对角线等）、判定（定义）|选择1（性质辨析）、填空11（对角线计算），直接考查核心概念| |中档|性质简单应用（中位线、勾股定理）|选择2（中位线求EF）、解答16（证明AE=BF），需基础推理| |拔高|综合折叠、全等、平行四边形|选择6（折叠求FC'）、解答19（矩形判定与平行四边形综合），培养综合思维|

1.3 矩形的性质与判定 一．选择题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF，若AC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 3．为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△AFD≌△DCE B．AFAD C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF 5．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线互相垂直 C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．四边相等的四边形是菱形 6．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（　　） A． B．4 C．4.5 D．5 7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 8．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　） A．1 B． C． D． 9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（　　） A．8 B．8 C．4 D．6 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　 　 cm． 二．填空题 11．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝　 　 ． 12．如图，矩形ABCD对角线AC＝10，BC＝6，则图中四个小矩形的周长和为　 　 ． 13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．请你添加一个条件  ，使四边形DBCE是矩形． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为　 　 ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC，BD相交于点O，M为AO的中点，ME∥AB交BO于点E，MF∥OD交AD于点F，若∠MEF＝∠MFE，则AD的长为（　　） A．8 B． C． D．10 三．解答题 16．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，BF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：AE＝BF． 17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE＝AD． （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF＝CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积． 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F是线段AC上的两点，且AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF． （1）请你从①AB＝BC；②BE＝DE；③OB＝OE中分别选一个填入下面的横线中： Ⅰ：若添加条件　 　 ，可证四边形DEBF为矩形； Ⅱ：若添加条件　 　 ，可证四边形DEBF为菱形； （2）从第（1）问的Ⅰ，Ⅱ中任选一个，写出证明过程． 答案 一．选择题 1．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等． 故选：C． 2．【解答】解：在矩形ABCD中，AC＝BD＝8， ∴， ， ∴AF＝FO， 即点F是边OA的中点， ∵点E是边AD的中点， ∴EF为△AOD的中位线， ∴， 故选：B． 3．【解答】解：A、90°+90°＝180°，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于80，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含53°角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据1002＝802+602可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意， 故选：B． 4．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C＝∠AFD＝90°，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DEC． 又∵DE＝AD， ∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确； （B）∵∠ADF不一定等于30°， ∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误； （C）由△AFD≌△DCE，可得AF＝CD， 由矩形ABCD，可得AB＝CD， ∴AB＝AF，故（C）正确； （D）由△AFD≌△DCE，可得CE＝DF， 由矩形ABCD，可得BC＝AD， 又∵BE＝BC﹣EC， ∴BE＝AD﹣DF，故（D）正确； 故选：B． 5．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误； D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确． 故选：D． 6．【解答】解：设FC′＝x，则FD＝9﹣x， ∵BC＝6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点， ∴AD＝BC＝6，C′D＝3． 在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9﹣x，C′D＝3， ∴FC′2＝FD2+C′D2，即x2＝（9﹣x）2+32， 解得：x＝5． 故选：D． 7．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE2×8＝8， ∴S阴＝8+8＝16， （本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题） 故选：C． 8．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠PAH， 又∵H是AF的中点， ∴AH＝FH， 在△APH和△FGH中， ∵， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP＝GF＝1，GH＝PHPG， ∴PD＝AD﹣AP＝1， ∵CG＝2、CD＝1， ∴DG＝1， 则GHPG， 故选：C． 9．【解答】解：如图，连接BO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，∠DCB＝90° ∴∠FCO＝∠EAO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF，OA＝OC， ∵BF＝BE， ∴BO⊥EF，∠BOF＝90°， ∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE， ∴∠EAO＝∠EOA， ∴EA＝EO＝OF＝FC＝2， 在RT△BFO和RT△BFC中， ， ∴RT△BFO≌RT△BFC， ∴BO＝BC， 在RT△ABC中，∵AO＝OC， ∴BO＝AO＝OC＝BC， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°， ∴∠FEB＝2∠CAB＝60°，∵BE＝BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴EB＝EF＝4， ∴AB＝AE+EB＝2+4＝6． 故选：D． 10．【解答】解：在矩形ABCD中， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠BOC＝120°， ∴∠OCB＝30°， ∵DC＝3cm， ∴AB＝CD＝3cm， 在Rt△ACB中， AC＝2AB＝6cm， 故答案为：6 二．填空题 11．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OBBD， ∵OE＝1，CE⊥BD， ∴由勾股定理可知：CE＝1， 故答案为：1． 12．【解答】解：由勾股定理，得AB8， 将五个小矩形的所有上边平移至AB，所有下边平移至CD，所有左边平移至AD，所有右边平移至BC， 则五个小矩形的周长之和＝2（AB+BC）＝2×（6+8）＝28． 故答案为：28． 13.【解答】解：添加EB=DC．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴DE∥BC， 又∵DE=AD， ∴DE=BC， ∴四边形DBCE为平行四边形． 又∵EB=DC， ∴四边形DBCE是矩形． 故答案为：EB=DC 14．【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝ODBD，S△AOD＝S△AOB， ∵AB＝3，AD＝4， ∴S矩形ABCD＝3×4＝12，BD＝5， ∴S△AODS矩形ABCD＝3，OA＝OC， ∵S△AOD＝S△AOP+S△DOPOA•PEOD•PFPEPF（PE+PF）＝3， ∴PE+PF． 故答案为． 15．【解答】解：∵点M为AO的中点， ∴OM＝MA， ∵ME∥AB， ∴， 即OE＝EB， ∴ME是△OAB的中位线， ∴， ∵∠MEF＝∠MFE， ∴MF＝ME＝3， ∵MF∥OD， ∴，即AF＝FD， ∴MF是△OAD的中位线， ∴OD＝2MF＝6， ∵BD＝2OD＝12，∠BAD＝90°， ∴． 故选：C． 三．解答题 16．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠AOE＝∠BOF，∠AEO＝∠BFO＝90°， 在△AOE和△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（AAS）， ∴AE＝BF． 17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13， ∵AE⊥BC， ∴S四边形ABCD＝BC•AE， 在Rt△ABO中，由勾股定理可得： ∴， ∴BD＝2BO＝24， ∵S四边形ABCDAC•BD＝BC•AE， ∴， ∴． 18．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE＝AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形； （2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4， ∴AC＝4，∠DAC＝30°， ∴∠ACE＝30°，AE＝2，CE＝2， ∵四边形ADCE为矩形， ∴OC＝OA＝2， ∵CF＝CO， ∴CF＝2， 过O作OH⊥CE于H， ∴OHOC＝1， ∴S四边形AOFE＝S△AEC﹣S△COF2×22×1＝21． 19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∵EG＝AE， ∴EG＝CF， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 20．【解答】（1）解：Ⅰ：当添加条件③时，可证四边形DEBF为矩形； 故答案为：③； Ⅱ：当添加条件①或②时，可证四边形DEBF为菱形； 故答案为：①或②； （2）证明：选择Ⅰ时，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， 在四边形DEBF中，OE＝OF，OB＝OD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BD＝2OB，EF＝2OE， ∴当添加条件③OB＝OE时， ∴BD＝EF， ∴平行四边形DEBF是矩形； 选择Ⅱ时，有两种情况： （a）当添加条件①时，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， 在四边形DEBF中，OE＝OF，OB＝OD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴当添加条件①AB＝BC时，则平行四边形ABCD是菱形； ∴AC⊥BD， ∴EF⊥BD， ∴平行四边形DEBF为菱形； （b）当添加条件②时，证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， 在四边形DEBF中，OE＝OF，OB＝OD， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴当添加条件②BE＝DE时，则平行四边形DEBF为菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $