第1章 素养培优2 追及和相遇问题(教参Word版)-【创新教程】2027年高考物理总复习大一轮讲义

该高中物理讲义聚焦高考运动学核心考点追及相遇问题，按情景分析、图像分析、函数分析三种方法系统整合知识点，通过考点梳理构建分析框架，方法指导提炼临界条件与解题技巧，真题训练强化应用能力，帮助学生突破运动过程分析难点。 资料以科学思维培养为核心，创新采用一题多解（如典例1临界法、函数法、图像法）引导学生模型建构与科学推理，设置从基础到综合的分层典例，确保高效掌握解题策略，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

培优点一　情景分析法处理追及相遇问题 1．解答追及和相遇问题的三种方法 情景 分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情景图 函数 判断法 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x与时间t的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况 图像 分析法 将两个物体运动的速度时间关系或位移时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 2.情景分析法的基本思路 [典例1]　(一题多解)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件． [审题指导]　要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等．设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示． [解析]　法一：临界法 利用位移公式、速度公式求解 对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2， vA＝v0＋(－2a)×t， 对B车有sB＝at2，vB＝at， 对两车有s＝sA－sB， 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB， 联立以上各式解得v0＝， 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<， 法二：函数法 利用判别式求解，由法一可知sA＝s＋sB， 即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2， 整理得3at2－2v0t＋2s＝0， 这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<. 法三：图像法 利用速度时间图像求解，先作A、B两车的速度时间图像，其图像如图所示，设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v′＝v0－2at′ 对B车有vB＝v′＝at′， 以上两式联立解得t′＝， 经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝v0·t′＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<. [答案]　v0< [典例2]　汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从此刻开始计时．求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？ (2)经过多长时间A恰好追上B? [解析]　(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s① 此时汽车A的位移xA＝vAt＝12 m② 汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21 m③ 故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m．④ (2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间 t1＝＝5 s⑤ 运动的位移xB′＝＝25 m⑥ 汽车A在t1时间内运动的位移 xA′＝vAt1＝20 m⑦ 此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m⑧ 汽车A需再运动的时间t2＝＝3 s⑨ 故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s．⑩ [答案]　(1)16 m　(2)8 s 　求解“追及、相遇”问题的思路和技巧 (1)解题思路 ⇨⇨⇨ (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式． ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 培优点二　图像分析法处理追及相遇问题 1．xt图像、vt图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算． (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解． 2．利用vt图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出vt图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷． 3．若为xt图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为at图像，可转化为vt图像进行分析． [典例3]　(多选)赛龙舟是端午节的传统活动．下列vt和st图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(　　) [解析]　BD　[A.此图是速度图像，由图可知，甲的速度一直大于乙的速度，所以中途不可能出现甲、乙船头并齐，故A错误；B.此图是速度图像，由图可知，开始丙的速度大，后来甲的速度大，速度图像中图像与横轴围成的面积表示位移，由图可以判断在中途甲、丙位移会相同，所以在中途甲、丙船头会并齐，故B正确；C.此图是位移图像，由图可知，丁一直运动在甲的前面，所以中途不可能出现甲、丁船头并齐，故C错误；D.此图是位移图像，交点表示相遇，所以甲、戊在中途船头会并齐，故D正确．故选B、D. ] 　(1)xt图像与vt图像描述的都是直线运动，无论图像是直线还是曲线，其图像并不表示真实的运动轨迹． (2)xt图像中图像的交点表示相遇，vt图像中图像的交点表示速度相等，此时需要注意位移差是否为最大值或最小值． [典例4]　假设高速公路上A、B两车在同一车道上同向行驶．A车在前，B车在后，速度均为v0＝30 m/s ，距离x0＝100 m，t＝0时刻A车遇紧急情况后，A、B两车的加速度随时间变化关系如图甲、乙所示．取原运动方向为正方向． (1)t＝7 s时，A、B两车的速度大小； (2)前4 s内A、B两车的平均速度大小； (3)若B车能追上A车，则经过多长时间B车能追上A车；若不能追上A车，求A、B两车间的最小距离． 　(1)根据at图像的物理意义解得速度 (2)根据位移时间公式结合平均速度公式解答． (3)可画出两车的vt图像，当两车速度相等时相距最近，根据面积计算位移差，从而分析解答． [解析]　(1)根据at图像可知，t＝7 s时，A车的速度大小vA＝30 m/s－10×3 m/s＋5×(7－3)m/s＝20 m/s， B车的速度大小vB＝30 m/s－5×(7－3)m/s＝10 m/s， (2)前3 s内，A车做匀减速直线运动，3 s时A车的速度为v3＝30 m/s－10×3 m/s＝0， 则前3 s内A车的位移为 xA1＝×3 m＝45 m， 3～4 s内A车做初速度为0的匀加速直线运动，通过的位移为xA2＝×5×12m＝2.5 m， 则前4 s内A车的平均速度大小为A＝＝m/s＝11.875 m/s； 前3 s内，B车做匀速直线运动，B车的位移为 xB1＝30×3 m＝90 m， 3～4 s内B车做匀减速直线运动，通过的位移为xB2＝30×1 m－×5×12m＝27.5 m， 则前4 s内B车的平均速度大小为＝ ＝m/s＝29.375 m/s. (3)根据以上分析画出A、B两车对应的vt图像如图所示 可知在t＝6 s时，两车速度相等，若此时B车没有追上A车，则B车不能追上A车，且此时两车相距最近；图中阴影部分面积为0～6 s内两车的位移差，则有 Δx＝xB－xA＝×30×3 m＋×30×(6－3)m＝90 m＜x0＝100 m 可知B车不能追上A车，A、B两车间的最小距离为Δxmin＝100 m－90 m＝10 m. [答案]　(1)vA＝20 m/s，vB＝10 m/s；(2)A＝11.875 m/s，B＝29.375 m/s；(3)不能追上，10 m 具有我国自主知识产权的“歼20”飞机的横空出世，证实了我国航空事业在飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图a所示．在光滑的水平轨道上停放相距x0＝10 m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车．在弹射装置使甲车获得v0＝40 m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的vt图像如图b所示，设两车始终未相撞． a　　　　　　　　　　b (1)若甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，求甲、乙两车的质量比； (2)求两车相距最近时的距离． 解析：(1)由题图b可知：甲车加速度的大小 a甲＝ m/s2， 乙车加速度的大小a乙＝ m/s2， 因甲车的质量与其加速度的乘积等于乙车的质量与其加速度的乘积，所以有：m甲a甲＝m乙a乙， 解得＝. (2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v＝10 m/s，此时两车相距最近 对乙车有：v＝a乙t1， 对甲车有：v＝a甲(0.4 s－t1)， 可解得t1＝0.3 s， 车的位移等于vt图线与时间轴所围的面积，有 x甲＝ m＝7.5 m， x乙＝ m＝1.5 m. 两车相距最近时的距离为 xmin＝x0＋x乙－x甲＝4 m. 答案：(1)　(2)4 m 培优点三　函数分析法分析追及相遇问题 利用函数法分析追及相遇问题的思路 设相遇时间为t，根据条件列方程，得到位移x关于时间t的二次函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况． (1)若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次； (2)若Δ＝0，说明刚好追上或相遇； (3)若Δ<0，说明追不上或不能相遇． [典例5]　一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时间后，司机开始刹车，则： (1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？ (2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速，则自行车的加速度至少多大才能保证两车不相撞？ [解析]　(1)初速度v汽＝54 km/h＝15 m/s，初始距离d＝14 m，设汽车的加速度大小为a，减速时间为t，则自行车的位移为x自＝v自(t＋t0)， 汽车的位移为x汽＝v汽(t＋t0)－at2 假设汽车能追上自行车，此时有x汽＝x自＋d， 代入数据整理得at2－10t＋10＝0， 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得 Δ＝102－20a≤0， 解得a≥5 m/s2， 所以，为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为5 m/s2. (2)设自行车加速度为a′，加速时间为t′，同理可得 v汽(t′＋t0)－a汽t′2＝v自(t′＋t0)＋a′t′2＋d 代入数据整理得t′2－10t′＋10＝0 要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，即得 Δ＝102－20a′－80≤0，解得a′≥1 m/s2， 所以，自行车的加速度至少为1 m/s2才能保证两车不相撞． [答案]　(1)5 m/s2　(2)1 m/s2 学科网（北京）股份有限公司 $