1.2 菱形的性质与判定 同步练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 围绕菱形性质与判定，通过基础辨析、性质综合到判定应用的三层设计，实现从概念理解到推理证明的巩固路径，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（对角线、角、边）|选择1-3考查性质辨析，填空1-2结合面积与勾股定理，夯实概念理解| |提升层|性质综合应用|选择4-7涉及中位线、面积公式综合计算，填空3-4创设纸条重叠情境，发展空间观念| |综合层|判定与综合证明|选择8辨析菱形判定条件，解答题1-2结合三角形中位线与垂直平分线证明菱形，培养推理能力|

1.2 菱形的性质与判定 一、选择题 1．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，若AB=5，AO=3，则BD的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 3.如图，菱形ABCD中，若∠C=110°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．45° 4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．4 C．4 D．28 6．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　） A．1：2 B．1：3 C．1： D．1： 7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A． B． C．12 D．24 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 二、填空题 1．如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O．已知▱ABCD的面积为24，BD的长为8，当AO的长为　 　 时，▱ABCD是菱形． 2．如图，在菱形ABCD中，已知AD＝5，DE⊥AB交AB于点E，且DE＝3，则线段DB的长为　 　 ． 3．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　 ． 4．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF，则对角线BD的长为 　 　 .（结果保留根号） 三、解答题 1．如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积． 2．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长． 参考答案 一、选择题 1．【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行； B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质． 故选：D． 2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ODBD， ∵AB=5，AO=3， ∴OB＝=4 ∴BD=2OB=8， 故选：B． 3．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠C+∠ABC=180°，∠ABD=∠CBD=∠ABC， ∵∠C=110°， ∴∠ABD=35°， 故选：C． 4．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 5．【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∵EF， ∴AC＝2EF＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OAAC，OBBD＝2， ∴AB， ∴菱形ABCD的周长为4． 故选：C． 6．【解答】解：如图，设AC，BD相交于点O， ∵菱形ABCD的周长为8cm， ∴AB＝BC＝2cm， ∵高AE长为cm， ∴BE1（cm）， ∴CE＝BE＝1cm， ∴AC＝AB＝2cm， ∵OA＝1cm，AC⊥BD， ∴OB（cm）， ∴BD＝2OB＝2cm， ∴AC：BD＝1：． 故选：D． 7．【解答】解：如图，设对角线相交于点O， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AOAC8＝4， BOBD6＝3， 由勾股定理得到，AB5， ∵DH⊥AB， ∴S菱形ABCD＝AB•DHAC•BD， 即5DH8×6， 解得DH． 故选：A． 8．【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形． C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形． D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形． 故选：C． 二、填空题 1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形， ∵菱形ABCD的面积AC•BD＝24，BD＝8， ∴AC＝6， ∴OAAC＝3， ∴当AO的长为3时，▱ABCD是菱形． 故答案为：3． 2．【解答】解：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°， ∵AD＝5，DE＝3， ∴AE4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝1， 由勾股定理得到DB． 故答案为：． 3．【解答】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都是3， ∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形． 如图，过A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BE， 在△ABE中，AB2＝BE2+AE2， 即AB2AB2+32， 解得AB＝2， ∴S四边形ABCD＝BC•AE＝23＝6． 故答案为：6． 4．【解答】解：如图，连接AC交BD于点H， 由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°， 又∵∠MCE＝15°， ∴∠DCF＝55°， ∵DF⊥CM， ∴∠CDF＝35°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠HDC＝35°， 在△CDH和△CDF中， ， ∴△CDH≌△CDF（AAS）， ∴DF＝DH， ∴DB＝2， 故答案为2． 三、解答题 1．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC， 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵BE＝EF， ∴四边形BCFE是菱形； （2）解：∵∠BEF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴BE＝BC＝CE＝6， 过点E作EG⊥BC于点G， ∴EG＝BE•sin60°＝63， ∴S菱形BCFE＝BC•EG＝6×318． 2．【解答】解：（1）证明：如图， 在△ABC中，点D是AC的中点， ∴AD＝DC， ∵AF∥BC， ∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， ∴△AFD≌△CED（AAS）， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， 又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC， ∴平行四边形AECF是菱形． （2）如图，过点A作AG⊥BC于点G， 由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°， ∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°， ∴∠AEB＝∠FAE＝60°， ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠AGE＝90°， ∴∠GAE＝30°， ∴GEAE＝1，AGGE， ∵∠B＝45°， ∴∠GAB＝∠B＝45°， ∴BG＝AG， ∴ABBG 学科网（北京）股份有限公司 $