第21章 一元二次方程学业质量评价(配套课件)-【鼎成中考·活页好题】2026-2027学年九年级上册数学同步课时练(华东师大版·新教材)

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法（配方法、因式分解法等）、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过选择、填空、解答题等题型将知识点串联，帮助学生构建完整的知识体系。 其特色在于融入新定义运算（如“☆”运算）、数学史（《代数学》几何方法）及实际问题（车棚面积、童装利润），培养学生数学眼光（抽象能力）、思维（推理意识）和语言（模型意识），分层设计满足不同学生需求，助力教师精准复习教学。

数 学 1 第二十一章学业质量评价 2 （满分：120分 时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的. 1.方程 的两个根分别为( ) D A.， B.， C.， D.， 2.若是关于的方程的一个根，则 的值为( ) A A. B.1 C. D.2 3 3.若关于的一元二次方程没有实数根，则 的值可以是 ( ) A A. B. C.0 D.1 4.解一元二次方程 时，可用配方法将其变形为( ) B A. B. C. D. 5.若方程是关于 的一元二次方程，则 的值为( ) D A.1 B. C. D. 4 6.新运算 对实数，定义运算“☆”如下：☆ ，例如3☆ ，则方程1☆ 的根的情况为( ) D A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 7.[2026河师大附中月考]若关于的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C.且 D.且 5 8.在一次联欢会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，那么参 加联欢会的人数为( ) C A.9 B.10 C.11 D.12 6 9.如图，某工程队计划将一块长、宽 的矩形场地建设成绿化广 场，广场内部修建四条等宽的小路，其余区域进行绿化.若使绿化区域的 面积为广场总面积的，求小路的宽.设小路的宽为 ，则可列方程 为( ) A A. B. C. D. 7 10.新定义 将关于的一元二次方程变形为 ， 就可以将表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 ，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法 可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知 ，且 ，则 的值为( ) C A. B. C. D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.开放性设问 请填写一个常数，使得关于的方程 _________ _______________ 有两个不相等的实数根. 12.方程的解也是关于的方程 的一个解，则 的值为____. 13.若一元二次方程的两个实数根分别为， ，则 ____. 2 （答案不唯一） 11 9 14.如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 ）的空地上建一个 矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用总长为 的栅栏围成.若 设，则当花园的面积最大时， 的值为___. 5 10 15.数学史 《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的 几何方法是：“如图1，先构造一个面积为 的正方形，再以正方形的边 为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的面积为 ，则该方程的正数解为.”小聪按此方法解关于 的方程 时，构造出如图2 所示的图形，已知阴影部分的 面积为36，则该方程的正数解为_________. 图1 图2 11 三、解答题（本大题共8个小题,共75分） 16.（10分）选择合适的方法解方程. （1） . 解：移项，得 . 配方，得，即 . 直接开平方，得，即， .（5分） 12 （2） . 解：移项，得 . 分解因式，得 . 于是得或， 解得， .（5分） 13 17.（8分）已知关于的方程 . （1）求证：无论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 解：证明： ， 无论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.（4分） （2）若该方程的一个根为1，求 的值及该方程的另一个根. 解：当时， ， 解得 .（6分） 原方程为 ， 解得， . 该方程的另一个根为 .（8分） 14 18.（9分）已知关于的一元二次方程 有两个实数根. （1）求 的取值范围. 解：根据题意，得 ， 解得 .（3分） 15 （2）若方程的两根,满足，求 的值. 解：根据题意，得， .（4分） ， . . ， 解得， （不符合题意，舍去）.（8分） 的值是 .（9分） 16 19.（9分）某童装专卖店销售一款进价为80元/件的童装,当售价为120元/ 件时,每天可售出20件,为了迎接儿童节,专卖店决定采取适当的降价措施, 经市场调查发现,每件童装的售价每降低1元,平均每天可多售出2件. （1）设每件童装的售价降低 元,则每天可销售__________________件. （用含 的代数式表示） 17 （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时,平均每 天盈利1 200元? 解：设每件童装降价元,则每件童装的销售利润为 元,每 天可售出 件. 根据题意,得 ， 解得, .（6分） 要尽快减少库存， . 答:每件童装降价20元时,平均每天盈利1 200元.（9分） 18 20.（9分）阅读下面的材料，完成相应任务. 解方程： . 解：设 ， 则原方程可化为 ， 解得, . 当时，，解得 ； 当时，，解得 . 综上所述，原方程的解为, . 上述解法称为“整体换元法”. 19 请仿照上面的材料，运用“整体换元法”解下列方程. （1） . 解：设，则原方程可化为 ， 解得, .（2分） 当时，，解得 ； 当时， ，此方程无解. 综上所述，原方程的解为, .（4分） 20 （2） . 解：设，则原方程可化为 ， 解得, . 当时，,,解得 ； 当时，,,解得 . 综上所述，原方程的解为,,, .（9分） 21 21.（9分）已知关于的一元二次方程 ，其 中，，分别为 三边的长. （1）如果是方程的根，试判断 的形状，并说明理由. 解： 是等腰三角形.（1分） 理由：是方程的根， . 为等腰三角形.（3分） 22 （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由. 解： 为直角三角形.（4分） 理由： 方程有两个相等的实数根， ， 整理，得，即 . 为直角三角形.（6分） 23 （3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 解：若为等边三角形，则 可转化为 . ，解得， .（9分） 24 22.（10分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简 易的矩形自行车车棚.搭建要求：一边利用教学楼 的后墙（可利用的墙长为 ），其他的边用总 （1）车棚的长为__________________.（用含 的代数式表示，并 化为最简形式） 长的不锈钢栅栏围成（不计损耗），左右两侧各留一个 的出口， 不锈钢栅栏的形状如“山” 字形.设车棚的宽为 .（墙的厚度忽略不计） 25 （2）若矩形车棚的面积为 ，求车棚 的长和宽 . 解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意. 答：车棚的长为，宽为 .（5分） 26 （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有 栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为 的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如 果不能，请说明理由. 解：不能围成面积为 的自行车车棚.（6分） 理由：假设能围成面积为 的自行车车棚. 根据题意，得 ， 整理，得 . ， 原方程没有实数根. 假设不成立. 不能围成面积为 的自行车车棚.（10分） 27 23.（11分）如图，在中， ，， ， 点沿边以的速度从点向点移动，到点处停止，点 沿边 以的速度从点向点移动，到点 处停止. （1）如果点，分别从点，同时出发，那么经过后， ____ . 8 28 （2）如果点从点先出发，点再从点出发，那么点 移动几秒 后， ？ 解：设点移动后，，则点移动的时间为 . ,, . 根据题意，得，解得 . 答：点移动后， .（5分） 29 （3）如果点，分别从点， 同时出发，那么经过 几秒后， ？ 解：设经过后，，则 , ，， . 在中，根据勾股定理，得 . ，整理，得 ， 解得， （不符合题意，舍去）. 答：经过后， .（11分） 30 $