专题08 走进几何世界 暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题08 走进几何世界 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础元素：点、线、面、体（几何图形的基本构成） 图形分类：平面图形、立体图形，常见几何体的识别与特征 图形变换：点线面体运动关系（点动成线、线动成面、面动成体），翻折、平移、旋转 图形转化：立体图形与平面图形互化（展开图、截面、三视图） ✅本章立足点、线、面、体基本几何元素，认识平面与立体图形，掌握图形三种基本运动方式，学会立体图形与平面图形的相互转化，初步建立核心空间几何直观观念。 ✺学习目标 基础知识：掌握点、线、面、体的概念及内在联系；准确区分平面图形与立体图形，熟知常见几何体的基本特征；认识平移、翻折、旋转三种图形运动，了解几何体展开图、截面、三视图的基础概念。 能力提升：具备从现实物体中抽象几何图形的能力，可准确识别各类基础几何体；能依据图形运动规律判断图形变化，初步掌握立体图形与平面图形的转化方法。 综合素养：建立初步空间观念与几何直观，形成观察、抽象、归纳的几何思维，为初中后续几何内容学习筑牢基础。 ✺题型归纳 题型1.常见的几何体 题型2.组合几何体的构成 题型3.立体图形的分类 题型4.几何体中的点、棱、面 题型5.截一个几何体 题型6.点、线、面、体四者之间的关系 题型7.平面图形旋转后所得的立体图形 题型8.用七巧板拼图形 题型9.平面图形形状的识别 题型10.几何体展开图的认识 题型11.由展开图计算几何体的表面积 题型12.由展开图计算几何体的体积 题型13.正方体几种展开图的识别 题型14.正方体相对两面上的字 题型15.含图案的正方体的展开图 题型16.求展开图上两点折叠后的距离 题型17.补一个面使图形围成正方体 题型18.从不同方向看几何体 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、几何图形的基本概念 1.几何图形：舍去物体的颜色、材质、质量等属性，仅保留形状、大小、位置特征的图形，叫做几何图形。 2.平面图形与立体图形 平面图形：所有组成部分都在同一平面内的几何图形。 常见类型：线段、射线、直线、角、三角形、长方形、圆等。 立体图形：各组成部分不都在同一平面内，占据一定空间的几何图形。 常见类型：正方体、长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球。如下表 知识点二、点、线、面、体的关系 点、线、面、体是构成一切几何图形的基本要素，四者存在动态生成关系。 1.点：无大小、无维度，是几何最基本的构成单元； 2.线：分为直线、曲线，由点运动形成； 3.面：分为平面、曲面，由线运动形成； 4.体：占有三维空间的几何体，由面运动形成。 动态规律：点动成线、线动成面、面动成体。 知识点三、常见立体图形 1. 柱体（棱柱、圆柱） 棱柱：上下底面为全等的多边形，直棱柱侧面均为长方形，侧棱平行且相等。 代表图形：长方体、正方体、三棱柱。 圆柱：上下底面为两个全等的圆，侧面为曲面。 2.锥体（棱锥、圆锥） 棱锥：底面为多边形，各侧面为共顶点的三角形。 圆锥：底面为圆形，侧面为曲面，顶部仅有一个顶点。 3.球体：由单一连续曲面围成的立体图形，球面上任意一点到球心距离相等 知识点四、图形的基本运动 平移、翻折、旋转是几何三种基本图形运动，图形运动前后形状、大小保持不变，仅位置发生改变。 1.平移：图形沿固定方向平行移动； 2.翻折：图形沿某一条直线折叠重合； 3.旋转：图形绕某一定点转动一定角度。 知识点五、立体图形与平面图形的转化 1. 几何体的展开图 将立体图形的表面沿棱剪开、平铺，得到的平面图形即为该几何体的展开图。 棱柱、圆柱、圆锥均可展开为平面图形；球体无平面展开图。 2.三视图：三视图是从正面、左面、上面三个固定视角观察几何体得到的平面图形，是立转平的核心方法。 主视图：正面观察所得图形；左视图：左面观察所得图形； 俯视图：上方观察所得图形。 从正面、左面、上面看圆柱、圆锥、球得到的平面图形： ✺题型精讲 题型1.常见的几何体 1．下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体判定求解即可； 【详解】解：A.是正方体； B.是球； C.是长方体； D.是圆柱体； 2．小王和小张在课间玩“猜几何体”游戏，小张说：“我心中想的几何体是一个共有个面的棱柱．”请你写出这个几何体的名称：________． 【答案】六棱柱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，棱柱的性质，设底面边数为，根据棱柱的面数底面边数列出方程解答即可求解，掌握棱柱的性质是解题的关键． 【详解】解：设底面边数为，则， 解得， ∴几何体是六棱柱， 故答案为：六棱柱． 3．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【答案】（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥 【分析】本题考查了常见几何体的名称，熟练掌握常见几何体的名称是解题的关键．根据常见几何体的特征逐一判断即可． 【详解】解：由图可知，（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥． 故答案为：长方体；圆柱；球体；圆锥；三棱锥． 题型2.组合几何体的构成 1．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 2．图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的． 【答案】 圆锥 圆柱 【分析】本题考查了几何体的构成，解题的关键是认识常见的几何体； 先观察示意图发现，该几何体可以看成两部分组成， 根据长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等的形状特征来逐一对照即可． 【详解】解：观察示意图，载人飞船的一部分可以看作是由圆锥和圆柱两种几何体组成的． 故答案为：①圆锥   ②圆柱 ． 3．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【答案】圆锥和圆柱；四棱锥和四棱柱；球和正方体 【分析】本题主要考查了组合几何体的构成，熟练掌握组合几何体的构成是解题的关键． 由题图可直接判断出各组合几何体的构成． 【详解】解：由题图可以看出： 第个组合几何体是由圆锥和圆柱构成的， 第个组合几何体是由四棱锥和四棱柱构成的， 第个组合几何体是由球和正方体构成的． 题型3.立体图形的分类 1．如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 【答案】B 【分析】根据相邻面的公共边长度必须相等，才能无缝拼接成封闭的三棱锥，判断即可． 【详解】解：选项A：用1块A作底面，3块B作侧面，不能拼成正三棱锥； 选项B：用1块A作底面，3块C作侧面，可拼成正三棱锥； 选项C：用1块A作底面，2块C和1块A作侧面，不能拼成三棱锥； 选项D：用1块B作底面，2块C和1块B作侧面，不能拼成三棱锥． 2．在如图所示的立体图形中，柱体有 ______ ，锥体有 ____ ，球体有 ____ ． （填序号） 【答案】 ①②③⑦ ⑤⑥ ④ 【分析】本题考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：在如图所示的立体图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④， 故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④． 3．将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】本题主要考查了几何体的分类，柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：①是正方体，属于柱体； ②是长方体，属于柱体； ③是球，属于球体； ④是圆锥，属于锥体； ⑤是六棱柱，属于柱体； ⑥是五棱锥，属于锥体； ⑦是三棱柱，属于柱体； ⑧是圆柱，属于柱体； 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 题型4.几何体中的点、棱、面 1．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱顶点个数可确定棱柱的侧棱数量，结合棱柱侧棱长都相等的性质，即可计算得到每条侧棱长． 【详解】解：∵棱柱有10个顶点，n棱柱的总顶点数为， ∴可得， 解得， 即该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱， ∵棱柱的所有侧棱长都相等，所有侧棱长的和为， ∴每条侧棱长为． 2．如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 【答案】六 【分析】本题考查棱柱的概念和棱数规律，关键是掌握“棱柱共有条棱”这一关系求解． 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵棱柱共有条棱， ∴，解得， 故它是六棱柱； 答案为：六． 3．探究不同情境，回答下面的问题： (1)如图1，如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (2)如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (3)如图2将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体， ①小正方体的边长为 ； ②求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据正方体表面积的计算公式即可解答； （2）根据正方体表面积的计算公式即可解答； （3）①根据正方体的特征，即可解答； ②根据正方体表面积的计算公式即可解答. 【详解】（1）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （2）解：原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：； （3）解：①将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体，则小正方体的边长为； ②原正方体的表面积为， 各个小正方体的表面积为， ∴各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为：. 题型5.截一个几何体 1．下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，分别根据选项判断得出即可． 【详解】解：圆柱的截面跟圆、四边形有关，截面不可能是三角形；过圆锥的顶点和下底圆心的面得到的截面是三角形，过正方体的三个面得到的截面是三角形，过长方体的三个面得到的截面是三角形， 所以，截面可能是三角形的有3个． 2．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 3．如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该圆柱的截面有以下4种不同的形状 (2)能，截得的最大的长方形的面积为 【分析】本题考查了几何体的截面，圆柱的特点，熟练掌握截面性质是解题的关键． （1）根据截几何体的方法解答即可； （2）以直径为宽，高为长截一个长方形即可． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 题型6.点、线、面、体四者之间的关系 1．“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体的动态关系，需将雨滴和雨丝抽象为几何图形，结合概念判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵雨滴可抽象为点，雨丝可抽象为线， ∴点运动形成线，对应数学原理为点动成线， 故选：A． 2．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 3．课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 【答案】(1)C (2)①侧面积相等  ②体积比为 (3)侧面积相等；体积比为 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积和体积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）① 分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积，然后比较大小即可； ②分别计算出甲、乙圆柱体的体积，求出其比值即可； （3）根据（2）计算的结果得出甲、乙圆柱体侧面积的关系以及体积比的关系． 【详解】（1）解：根据题意得：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：①甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：， 所以甲乙两圆柱的侧面积相等； ②甲圆柱的体积为：， 乙圆柱的体积为：， 所以甲乙两圆柱的体积比为：； （3） 解：由（2）知甲、乙圆柱体的侧面积相等，体积比． 题型7.平面图形旋转后所得的立体图形 1．下面的几何体中，不能由一个平面图形通过旋转得到的是（     ） A．圆锥 B．棱锥 C．圆柱 D．球 【答案】B 【分析】本题考查面动成体的性质，只需判断各几何体能否由一个平面图形旋转得到即可． 【详解】解：∵圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，∴A不符合题意； ∵圆柱可由长方形绕它的一条边旋转一周得到，∴C不符合题意； ∵球可由半圆绕它的直径旋转一周得到，∴D不符合题意； 棱锥是多面体，所有面都是平面多边形，不能由一个平面图形旋转得到，因此B符合题意． 2．如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆柱的是_____．（填“①”或“②”） 【答案】② 【分析】本题考查了面动成体，几何体的认识． 分别判断两图形绕虚线旋转一周所成的几何体，进而作答即可． 【详解】解：①绕虚线旋转一周，得到圆锥； ②绕虚线旋转一周，得到圆柱； 即可以得到圆柱的是②． 故答案为：②． 3．如图，已知直角三角形纸板，． (1)将这个直角三角形纸板绕边旋转一周，得到的立体图形的名称是________； (2)求绕边旋转一周得到的立体图形的体积（，结果保留） 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题考查了常见的立体图形，代数式求值，解题的关键是正确掌握几种常见立体图形的定义． （1）根据圆锥的定义即可求解； （2）根据圆锥的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：将这个直角三角形纸板绕边旋转一周，得到的是圆锥， 故答案为：圆锥； （2） 解：体积为． 题型8.用七巧板拼图形 1．下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶A中图形个数不对，有8个图形，故不是由原图这副七巧板拼成的； B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； C中的图形和原图一样，故是由原图这副七巧板拼成的； D中小等腰直角三角形的斜边应该与平行四边形的长边叠合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 2．七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】7 【分析】此题考查了求阴影面积，首先求出正方形的面积，然后依次求出的面积，的面积，平行四边形的面积，进而求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为 ∴的面积为， ∴的面积为，平行四边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：7． 3．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 【答案】见解析 【分析】此题考查七巧板拼图，正方形的性质，矩形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键． 【详解】解：如图，拼成一个长方形 题型9.平面图形形状的识别 1．在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体和平面图形．根据几何体和平面图形进行甄别即可． 【详解】解：选项中前三个是立体图形，分别是球，长方体，四棱锥； 只有D选项是圆，是平面图形， 故选：D． 2．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 【答案】立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 【分析】本题考查了几何图形的分类：立体图形是三维图形，具有长度、宽度和高度；平面图形是二维图形，只存在于一个平面内． 【详解】解：③圆锥是立体图形，因为它是由圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑤圆柱是立体图形，因为它是由两个平行圆形底面和曲面围成的三维图形． ⑦球是立体图形，因为它是所有点与中心点距离相等的三维图形． ⑨正方体是立体图形，因为它是由六个正方形面围成的三维图形． ①长方形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ②三角形是平面图形，因为它是三条边组成的二维图形． ④直线是平面图形，因为它是无限延伸的一维图形，但存在于平面内． ⑥平行四边形是平面图形，因为它是四条边组成的二维四边形． ⑧圆是平面图形，因为它是所有点与中心点距离相等的二维图形． 立体图形{ ③、⑤、⑦、⑨…}； 平面图形{ ①、②、④、⑥、⑧…} 3．如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米．求阴影部分的面积． 【答案】50平方厘米 【分析】采用割补法求阴影部分的面积． 【详解】解： （平方厘米）， 答：阴影部分的面积为50平方厘米． 【点睛】本题考查了平面图形，割补法求面积是解题的关键． 题型10.几何体展开图的认识 1．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱． 2．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 3．综合与实践：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【特例感知】实践小组先研究了正方体的展开图 下列平面图形中，是正方体平面展开图的是_____； A．    B．    C．    D． (2)【初步研究】实践小组按照如图方式制作了一个无盖的长方体纸盒，他们先将边长为的正方形纸板的四角剪去四个边长为的小正方形（图一），再沿虚线折叠起来（图二），则该长方体纸盒的底面周长为（_____）cm；（用含、的代数式表示） (3)【知识再探】实践小组将一个和图二一样的无盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展成一个平面图形．他们发现有多种样式的展开图，当时，其中有一种展开图的周长为，请求出的所有可能的值． 【答案】(1)C (2) (3)4或7或8 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据正方体展开图的核心是排除“田”字形、“凹”字形和“7”字形等无法折叠成正方体的结构，同时记住常见的11种正方体展开图类型即可求解； （2）先求出长方体纸盒的底面边长，然后再求出周长即可； （3）根据无盖长方体盒子有4条长度为b的棱，4条长度为的棱，剪开后的图形周长为所剪开棱的长度和的2倍加上4条的棱的长度，且长度为的棱最多只能剪开3条，分四种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）选项A、存在“田”字形结构，无法折叠成正方体． 选项B、存在“凹”字形结构，无法折叠成正方体． 选项C、符合“1-3-2”型正方体展开图的结构，可以折叠成正方体． 选项D、存在“凹”字形结构，无法折叠成正方体． 因此，是正方体平面展开图的是C． 故答案为：C． （2）该长方体纸盒的底面边长为， ∴该长方体纸盒的底面周长为； （3）无盖长方体盒子有4条长度为b的棱，4条长度为的棱，剪开后的图形周长为所剪开棱的长度和的2倍加上4条的棱的长度，且长度为的棱最多只能剪开3条， 当剪开的棱为4条长度为b的棱时， ，不符合题意； 当剪开的棱为3条长度为b的棱，1条长度为时， ， 即 解得：； 当剪开的棱为2条长度为b的棱，2条长度为时， ， 即， 解得：； 当剪开的棱为1条长度为b的棱，3条长度为时， ， 即， 解得：； 综上分析可知：b的所有可能的值为4或7或8． 题型11.由展开图计算几何体的表面积 1．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 2．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 3．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 题型12.由展开图计算几何体的体积 1．将一张边长为的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为的小正方形，把剩余的纸片沿如图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有和的代数式表示该无盖长方体的容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 先表示出长方体的长，宽，高，再根据体积公式得出答案． 【详解】解：根据题意可知长方体的长为，宽也为，高为h，根据题意，得 ． 故选：C． 2．如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【答案】320 【分析】本题考查了长方体的展开图，体积．解题的关键在于根据图形求出长方体的高，底面正方形的边长． 由图可知，长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，然后求体积即可． 【详解】解：根据题意可知长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为． 则制作成底面为正方形的长方体箱子的体积， 故答案为：320． 3．【问题情境】某实践小组开展“长方体纸盒制作”的活动． 【提出问题】 (1)如图1，将边长为的正方形纸板剪去4个边长为的小正方形（阴影部分），再沿虚线折成无盖长方体纸盒，与点重合的是点_____． (2)如图2，一长方形纸板，长是宽的2倍，将其四周剪去2个边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形（阴影部分），然后沿虚线折合成一个有盖的长方体盒子．设长方形纸板的宽是． ①则长方体盒子底面的长为_____；（用含的代数式表示） ②若长方体盒子底面的长是宽的倍，求该长方体盒子的体积． (3)先将（2）中折成的长方体盒子装满水，再倒入（1）中折成的长方体盒子中，请直接写出（1）中长方体盒中水面的高度．（两个盒子都不漏水） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了长方体及其体积，列代数式，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据长方体图形进行求解即可； （2）①根据图形列出代数式即可； ②根据图形表示出长方体盒子底面的宽，然后根据长和宽的数量关系，列出方程求解即可； （3）求出第一个长方体的底面积，然后求高度即可． 【详解】（1）解：与点重合的是点， 故答案为：； （2）解：①设长方形纸板的宽是，则长为， ∴长方体盒子底面的长为， 故答案为：； ②长方体盒子底面的宽为， ∴， 解得， ∴长方体盒子底面的长为， 长方体盒子底面的宽为， ∴长方体盒子的体积为 （3）解：第一个长方体盒子的底面面积为， ∴， ∴（1）中长方体盒中水面的高度为． 题型13.正方体几种展开图的识别 1．下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 2．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，正方体的展开图有11种，其中“141”型有6种，“132”型有4种，“222”型有1种，“33”型有1种，观察已有 5 个涂黑小正方形的布局，逐一判断即可． 【详解】解：在②或③或④处涂黑一个小正方形可构成“132”型，满足题意； 在⑥处涂黑一个小正方形可构成“33”型，满足题意； 在①或⑦处涂黑一个小正方形，涂黑的6个小正方形不能形成一个正方体的展开图， ∴可以涂黑的小正方形的位置一共有4处， 故答案为：4． 3．如图，在4×3的正方形网格中，已有5个小正方形被涂黑，请你分别在下面2张图中再将一个空白的小正方形涂黑，使得涂黑部分的图形是正方体展开图． 【答案】 如图所示： 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握正方体的展开图的各种图形．根据正方体的展开图将所给图形填涂完整即可． 【详解】略 题型14.正方体相对两面上的字 1．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．国 C．好 D．事 【答案】D 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“中”与“故”是相对面，“国”与“事”是相对面，“讲”与“好”是相对面． 2．如图是一个正方体纸盒的展开图，每个面内都标注了汉字，则在原正方体中，与“真”字所在面相对面上的字是______． 【答案】静 【详解】解：根据正方体的表面展开图的相对面之间一定相隔一个正方形可得，与“真”字所在面相对面上的字是“静”． 3．如图是一个正方体纸盒的表面展开图，将这个展开图折叠成一个正方体后，与它相对面上的数互为倒数，是与它相对面上的数的绝对值，与它相对面上的数互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开图，有理数的运算，根据正方体的展开图必定相隔一个小正方形，确定相对面，根据倒数，绝对值和相反数的定义，求出的值，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据展开图可知，与在相对面上，与在相对面上，与3在相对面上， ∵与它相对面上的数互为倒数，是与它相对面上的数的绝对值，与它相对面上的数互为相反数， ∴， ∴． 题型15.含图案的正方体的展开图 1．如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：把四个选项的展开图折叠，能复原的是． 2．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 3．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点进行解答即可． 【详解】如图展开： 题型16.求展开图上两点折叠后的距离 1．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 2．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    题型17.补一个面使图形围成正方体 1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 2．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 3．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】(1)， (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了长方体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 题型18.从不同方向看几何体 1．在图所示的四个几何体中，它们各自从左面看与从正面看的图形可能不相同的是（     ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆台 【答案】A 【详解】解：A．长方体从正面看到的长方形和从左面看到的长方形不一定相同，故A符合题意； B．正方体从正面看到的正方形和从左面看到的正方形完全相同，故B不符合题意； C．圆柱从正面看到的长方形和从左面看到的长方形完全相同，故C不符合题意； D．圆台从正面看到的梯形和从左面看到的梯形完全相同，故D不符合题意． 2．仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【答案】或 【分析】先根据从上面看确定底层纸箱的数量，因为从上面看每个正方形对应底层一个位置的纸箱，所以可先得出底层纸箱总数，再结合从前面看和从左面看判断各位置上的层数，从前面看反映每列的最大层数，从左面看反映每行的最大层数，由此分析每个位置可能的层数取值．分别计算所有可能的层数组合对应的总纸箱数． 【详解】解：首先根据从上面看（图②）可得：这堆纸箱底层共有3个纸箱， 结合从前面看和左面看到的形状如图①，可得这堆纸箱排列如图 因此总个数为： 或 ，两种情况都满足从前面、从上面和左面看到的形状要求． 3．如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)①2；② 【分析】（1）根据从三个方向看到的图形形状进行画图即可； （2）①根据图形形状进行解答即可； ②根据添加情况画图即可． 【详解】（1）略 （2）解：①可以从前排左一或左三处再摆放一个相同的小正方体，能保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，故添加小正方体的方法共有2种； ②略 ✺巩固测试 一、单选题 1．下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 【答案】C 【分析】本题主要考查立体图形的分类，掌握棱柱的定义是解题的关键． 根据棱柱的定义即可求解． 【详解】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱；⑦球体． 属于棱柱的有：①③⑥． 故选：C． 2．将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：将以虚线为轴从右向左旋转一周，得到的图形是． 3．如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面． 【详解】解：汽车的雨刮器工作的时候，可用线动成面的数学知识来解释． 故选：B． 4．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 【答案】D 【分析】正方体原有8个顶点，根据切割面经过原正方体顶点的不同情况分类讨论，即可得到剩下几何体的顶点个数． 【详解】解：∵正方体原有8个顶点，切掉一个角可分4种情况讨论， ①当切割面经过原正方体的3个顶点时，切掉1个原顶点，无新增顶点， ∴顶点个数为 ； ②当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的两个顶点和第三条棱上的一个非顶点时，切掉1个原顶点，新增1个顶点， ∴顶点个数为 ； ③当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的一个顶点和另外两条棱上的两个非顶点时，切掉1个原顶点，新增2个顶点， ∴顶点个数为 ； ④当切割面与被切掉角所在的三条棱相交于三个非顶点时，切掉1个原顶点，新增3个顶点， ∴顶点个数为 ； ∴剩下几何体顶点的个数是7或8或9或10， 故选：D． 5．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】根据几何体的特点判断解答即可． 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 二、填空题 6．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“疫”的面相对面上的字是_________． 【答案】英 【分析】根据几何体复原以后的形状判断即可． 【详解】解：由图可知，该几何体中写“疫”的面相对面上的字是“英”． 7．一个直六棱柱，它的底面周长是30厘米，侧棱长是5厘米，则这个直六棱柱的侧面积是________平方厘米． 【答案】150 【分析】本题考查了常见几何体的表面积的求法；要能够想象出物体表面积的变化情况，锻炼学生的空间想象能力；直六棱柱的侧面积由所有侧面矩形组成，其值等于底面周长乘以侧棱长. 【详解】解：直六棱柱的侧面积计算公式为侧面积 = 底面周长 × 侧棱长， 代入已知数据，底面周长为30厘米，侧棱长为5厘米，得侧面积（平方厘米）． 故答案为：150. 8．如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底面和曲面侧面． 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱； 综上，能得到空心圆柱的是图形④． 9．把如图这个展开图折成一个正方体．如果下面是C，右面是A，前面是B，那么上面是( )，后面是( )，左面是( )． 【答案】 【分析】首先根据正方体展开图“相间、字端点”等规律确定三组相对面，然后结合题目给定的方位（下面是，前面是），利用相对面关系确定上面和后面，最后通过相邻面的位置关系或空间旋转确定左面； 【详解】解：观察展开图可知： 面“”与面“”相对， 面“”与面“”相对， 面“”与面“”相对， 因为下面是，根据相对面关系，上面是， 因为前面是，根据相对面关系，后面是， 因为为右面，所以面为左面． 10．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 三、解答题 11．问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【答案】（1）①③④；（2）①B；②一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图；一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图，图见解析 【分析】本题考查了正方形展开图． （1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图2折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒B；②画图说明即可． 【详解】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． 12．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 13．李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可； （2）根据正方体表面展开图的特征画出图形即可； （3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的特征可知，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有种弥补方法 故答案为：． （2）解：示例：如图①所示． （3）解：示例：如图②所示（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键． 14．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】 将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 15．如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面相对的面是_________，与面相对的面是__________； (2)若，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求分别代表的代数式． 【答案】(1)D面；E面 (2)， 【分析】（1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． （2）由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面，与B面相对的面是F面，利用整式的加减运算法则求出的结果，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面； （2）解：由正方体展开图的特点可知，与A面相对的面是D面，与C面相对的面是E面，与B面相对的面是F面， ， ∵相对两个面所表示的代数式的和都相等， ∴， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 走进几何世界 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础元素：点、线、面、体（几何图形的基本构成） 图形分类：平面图形、立体图形，常见几何体的识别与特征 图形变换：点线面体运动关系（点动成线、线动成面、面动成体），翻折、平移、旋转 图形转化：立体图形与平面图形互化（展开图、截面、三视图） ✅本章立足点、线、面、体基本几何元素，认识平面与立体图形，掌握图形三种基本运动方式，学会立体图形与平面图形的相互转化，初步建立核心空间几何直观观念。 ✺学习目标 基础知识：掌握点、线、面、体的概念及内在联系；准确区分平面图形与立体图形，熟知常见几何体的基本特征；认识平移、翻折、旋转三种图形运动，了解几何体展开图、截面、三视图的基础概念。 能力提升：具备从现实物体中抽象几何图形的能力，可准确识别各类基础几何体；能依据图形运动规律判断图形变化，初步掌握立体图形与平面图形的转化方法。 综合素养：建立初步空间观念与几何直观，形成观察、抽象、归纳的几何思维，为初中后续几何内容学习筑牢基础。 ✺题型归纳 题型1.常见的几何体 题型2.组合几何体的构成 题型3.立体图形的分类 题型4.几何体中的点、棱、面 题型5.截一个几何体 题型6.点、线、面、体四者之间的关系 题型7.平面图形旋转后所得的立体图形 题型8.用七巧板拼图形 题型9.平面图形形状的识别 题型10.几何体展开图的认识 题型11.由展开图计算几何体的表面积 题型12.由展开图计算几何体的体积 题型13.正方体几种展开图的识别 题型14.正方体相对两面上的字 题型15.含图案的正方体的展开图 题型16.求展开图上两点折叠后的距离 题型17.补一个面使图形围成正方体 题型18.从不同方向看几何体 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、几何图形的基本概念 1.几何图形：舍去物体的颜色、材质、质量等属性，仅保留形状、大小、位置特征的图形，叫做几何图形。 2.平面图形与立体图形 平面图形：所有组成部分都在同一平面内的几何图形。 常见类型：线段、射线、直线、角、三角形、长方形、圆等。 立体图形：各组成部分不都在同一平面内，占据一定空间的几何图形。 常见类型：正方体、长方体、棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球。如下表 知识点二、点、线、面、体的关系 点、线、面、体是构成一切几何图形的基本要素，四者存在动态生成关系。 1.点：无大小、无维度，是几何最基本的构成单元； 2.线：分为直线、曲线，由点运动形成； 3.面：分为平面、曲面，由线运动形成； 4.体：占有三维空间的几何体，由面运动形成。 动态规律：点动成线、线动成面、面动成体。 知识点三、常见立体图形 1. 柱体（棱柱、圆柱） 棱柱：上下底面为全等的多边形，直棱柱侧面均为长方形，侧棱平行且相等。 代表图形：长方体、正方体、三棱柱。 圆柱：上下底面为两个全等的圆，侧面为曲面。 2.锥体（棱锥、圆锥） 棱锥：底面为多边形，各侧面为共顶点的三角形。 圆锥：底面为圆形，侧面为曲面，顶部仅有一个顶点。 3.球体：由单一连续曲面围成的立体图形，球面上任意一点到球心距离相等 知识点四、图形的基本运动 平移、翻折、旋转是几何三种基本图形运动，图形运动前后形状、大小保持不变，仅位置发生改变。 1.平移：图形沿固定方向平行移动； 2.翻折：图形沿某一条直线折叠重合； 3.旋转：图形绕某一定点转动一定角度。 知识点五、立体图形与平面图形的转化 1. 几何体的展开图 将立体图形的表面沿棱剪开、平铺，得到的平面图形即为该几何体的展开图。 棱柱、圆柱、圆锥均可展开为平面图形；球体无平面展开图。 2.三视图：三视图是从正面、左面、上面三个固定视角观察几何体得到的平面图形，是立转平的核心方法。 主视图：正面观察所得图形；左视图：左面观察所得图形； 俯视图：上方观察所得图形。 从正面、左面、上面看圆柱、圆锥、球得到的平面图形： ✺题型精讲 题型1.常见的几何体 1．下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．小王和小张在课间玩“猜几何体”游戏，小张说：“我心中想的几何体是一个共有个面的棱柱．”请你写出这个几何体的名称：________． 3．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 题型2.组合几何体的构成 1．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 2．图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的． 3．分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 题型3.立体图形的分类 1．如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 2．在如图所示的立体图形中，柱体有 ______ ，锥体有 ____ ，球体有 ____ ． （填序号） 3．将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 题型4.几何体中的点、棱、面 1．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是（    ） A． B． C． D． 2．如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 3．探究不同情境，回答下面的问题： (1)如图1，如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (2)如果将棱长为的正方体，切割成个棱长为的小正方体，各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比为： ； (3)如图2将一个棱长为的正方体，切割成个小正方体， ①小正方体的边长为 ； ②求各个小正方体的表面积之和与原来正方体的表面积之比． 题型5.截一个几何体 1．下列几何体中，截面可能是三角形的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 3．如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 题型6.点、线、面、体四者之间的关系 1．“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧闹的大雨过后，雨势渐渐变得细微，映着天空飞舞，如同丝线般洒落．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点之间，线段最短 2．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 3．课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙 (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为________ A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)当，时 ①通过计算比较甲、乙圆柱体的侧面积的大小关系 ②求甲圆柱体与乙圆柱体的体积比 (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系，体积比有什么关系？（用字母和表示） 题型7.平面图形旋转后所得的立体图形 1．下面的几何体中，不能由一个平面图形通过旋转得到的是（     ） A．圆锥 B．棱锥 C．圆柱 D．球 2．如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆柱的是_____．（填“①”或“②”） 3．如图，已知直角三角形纸板，． (1)将这个直角三角形纸板绕边旋转一周，得到的立体图形的名称是________； (2)求绕边旋转一周得到的立体图形的体积（，结果保留） 题型8.用七巧板拼图形 1．下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B．C．D． 2．七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图1），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板．图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是___________． 3．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 题型9.平面图形形状的识别 1．在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 2．把几何图形：①长方形；②三角形；③圆锥；④直线；⑤圆柱；⑥平行四边形；⑦球；⑧圆；⑨正方体；分别填在下面的大括号内：(填序号) 立体图形{ …}； 平面图形{ …}． 3．如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米．求阴影部分的面积． 题型10.几何体展开图的认识 1．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 2．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 3．综合与实践：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【特例感知】实践小组先研究了正方体的展开图 下列平面图形中，是正方体平面展开图的是_____； A．    B．    C．    D． (2)【初步研究】实践小组按照如图方式制作了一个无盖的长方体纸盒，他们先将边长为的正方形纸板的四角剪去四个边长为的小正方形（图一），再沿虚线折叠起来（图二），则该长方体纸盒的底面周长为（_____）cm；（用含、的代数式表示） (3)【知识再探】实践小组将一个和图二一样的无盖的长方体纸盒沿某些棱剪开，展成一个平面图形．他们发现有多种样式的展开图，当时，其中有一种展开图的周长为，请求出的所有可能的值． 题型11.由展开图计算几何体的表面积 1．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 2．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 3．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 题型12.由展开图计算几何体的体积 1．将一张边长为的正方形纸片的四个角各减去一个同样大小的边长为的小正方形，把剩余的纸片沿如图所示的虚线折叠后，可得到一个无盖长方体，用含有和的代数式表示该无盖长方体的容积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 3．【问题情境】某实践小组开展“长方体纸盒制作”的活动． 【提出问题】 (1)如图1，将边长为的正方形纸板剪去4个边长为的小正方形（阴影部分），再沿虚线折成无盖长方体纸盒，与点重合的是点_____． (2)如图2，一长方形纸板，长是宽的2倍，将其四周剪去2个边长为的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形（阴影部分），然后沿虚线折合成一个有盖的长方体盒子．设长方形纸板的宽是． ①则长方体盒子底面的长为_____；（用含的代数式表示） ②若长方体盒子底面的长是宽的倍，求该长方体盒子的体积． (3)先将（2）中折成的长方体盒子装满水，再倒入（1）中折成的长方体盒子中，请直接写出（1）中长方体盒中水面的高度．（两个盒子都不漏水） 题型13.正方体几种展开图的识别 1．下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小丽在网格纸中涂黑了5个小正方形，她想再涂黑一个小正方形，使涂黑的6个小正方形形成一个正方体的展开图，可以涂黑的小正方形的位置一共有___________处． 3．如图，在4×3的正方形网格中，已有5个小正方形被涂黑，请你分别在下面2张图中再将一个空白的小正方形涂黑，使得涂黑部分的图形是正方体展开图． 题型14.正方体相对两面上的字 1．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．中 B．国 C．好 D．事 2．如图是一个正方体纸盒的展开图，每个面内都标注了汉字，则在原正方体中，与“真”字所在面相对面上的字是______． 3．如图是一个正方体纸盒的表面展开图，将这个展开图折叠成一个正方体后，与它相对面上的数互为倒数，是与它相对面上的数的绝对值，与它相对面上的数互为相反数．求的值． 题型15.含图案的正方体的展开图 1．如图，正方体纸盒的三个侧面分别印有文字“铜”、“陵”、“市”，现在沿着它的棱剪开，展开成一个平面图形，这个正方体的平面展开图可以是（     ） A． B． C． D． 2．按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 3．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 题型16.求展开图上两点折叠后的距离 1．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    题型17.补一个面使图形围成正方体 1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 3．综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 题型18.从不同方向看几何体 1．在图所示的四个几何体中，它们各自从左面看与从正面看的图形可能不相同的是（     ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆台 2．仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 3．如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列几何体中，属于棱柱的是（   ） A．②③⑥ B．①②⑦ C．①③⑥ D．①⑥ 2．将一个梯形以虚线为轴从右向左旋转一周（如图），得到的图形是（     ） A． B． C． D． 3．如图，汽车的雨刮器工作的时候，可用下面（    ）的数学知识来解释． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 4．一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 5．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 二、填空题 6．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“疫”的面相对面上的字是_________． 7．一个直六棱柱，它的底面周长是30厘米，侧棱长是5厘米，则这个直六棱柱的侧面积是________平方厘米． 8．如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 9．把如图这个展开图折成一个正方体．如果下面是C，右面是A，前面是B，那么上面是( )，后面是( )，左面是( )． 10．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 三、解答题 11．问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 12．如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 13．李明同学设计的某个产品的正方体包装盒如下图所示．由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图； (3)在你帮忙在设计成功的图中，把，8，10，10，8，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相等． 14．某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 15．如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面相对的面是_________，与面相对的面是__________； (2)若，且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求分别代表的代数式． 学科网（北京）股份有限公司 $