【导学案】27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质(2)（word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦反比例函数的图象和性质，核心知识点包括用待定系数法求解析式、点的坐标特征、k的几何意义及与一次函数的综合应用。课堂通过复习反比例函数图象和k的关系导入，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生整合函数认识。 导学案以合作探究为特色，通过表格猜想、证明活动理解k的几何意义，培养学生抽象能力和推理意识。典例与练一练结合，强化从图象获取信息的能力，发展几何直观和模型意识，助力学生用数学思维解决问题。

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质(2) 【学习目标】 1.对函数进行认识上的整合，提高从函数图象中获取信息的能力. 2.掌握反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征. 3.理解并掌握反比例函数图象的性质，了解 k 的几何意义. 学习重点：掌握反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征. 学习难点：理解并掌握反比例函数图象的性质，了解 k 的几何意义. 【复习导入】 1.反比例函数的图象是什么？ 2.反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 【合作探究】 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (－2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ (2) 点B(1，－8)，C(，－3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ [练一练] 1. 已知反比例函数的图象经过点 A (2，3)． （1）求这个函数的解析式； （2）判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3） 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 例2 如图，是反比例函数图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ [练一练] 2. 如图，是反比例函数的图象，则 k 的值可以是 （ ） A．－1 B．3 C．1 D．0 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 [合作探究] 1. 在反比例函数的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下列表格： S1的值 S2的值  S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 P (2，2) ，Q (4，1) 2. 若在反比例函数中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 猜想 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是反比例函数图象上的任意一点，过点 P作 PA ⊥ x 轴，作 PB ⊥ y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 证明 我们就 k < 0 的情况给出证明： [要点归纳] 对于反比例函数，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA⊥ y 轴，作QB⊥x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= |k|. 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO=. [做一做] 如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ） A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB [典例精析] 例3 如图，点A在反比例函数的图象上，AC⊥x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． [练一练] 3. 如图，过反比例函数图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于点A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . 例4 如图，P，C是函数(x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. （填“＞”，“＜”或者“＝”） [练一练] 4.如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、 △POE 的面积 S3 的大小关系为 . 例5 如图，点 A 是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数(x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___. 【方法总结】解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. [练一练] 5.如图，函数 y＝－x与函数的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 [合作探究] 在同一坐标系中，函数和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ 例6 函数 y=kx－k 与（k≠0）的图象大致是（ ） 【提示】由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数的图象， 观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . [练一练] 6.如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 ． 例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象. 想一想：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 当堂反馈 1.已知点P(2，6)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是(　　) A.3 B.12 C. D. 2.如图，点P为反比例函数y＝－图象上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，则△POC的面积为　　. 3.已知函数y＝的图象与直线y＝x没有交点，则m的取值范围是　　. 草图通关 反比例函数的图象在第　　象限和第　　象限. 4.如图，直线y＝ax＋b与双曲线y＝相交于A(1，2)，B(m，－4)两点. (1)求直线与双曲线的解析式； (2)[高频易错]求不等式ax＋b＞的解集. 参考答案 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 例1 解：（1） 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(－2，4) 在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. （2）设这个反比例函数的解析式为 . 因为点 A (-2，4) 在其图象上，所以点 A 的坐标满足，即 解得 k = -8. 因此，这个反比例函数的解析式为 . 因为点 B，C 的坐标都满足 ，点 D 的坐标不满足 ，所点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. [练一练] 1. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得，解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为. （2）分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． （3）∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，∴ 当 －3 < x <－1 时，－6 < y <－2. 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 例2 解：（1）因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0，解得m＞5. （2）因为 m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小， 因此当x1＞x2时，y1＜y2. [练一练]B 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 操作 1. 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k 2. 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k 证明 解：设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数的图象上，∴，即 ab=k. 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. [做一做]C 例3 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，∵点 A 在反比例函数的图象上， ∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC＝ xA·yA = ·k＝2，∴ k＝4. ∴反比例函数的解析式为. [练一练] 3. -12 例4 (1) 2 (2） > （3）= [练一练] 4. S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3 例5 5 [练一练] 5. D 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 例6 D 例7 －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. [练一练] 6. x <－1 或 0 < x < 2 例8 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 所以4= -3k1，.解得，k2 = -12 则这两个函数的解析式分别为和， 它们的图象如图所示. 当堂反馈 1.　B　 2.　　. 3.　m＞2　. 4.解：(1)先把(1，2)代入双曲线y＝中，得k＝2， 故双曲线的解析式是y＝.当y＝－4时，m＝－. 把(1，2)，(－，－4)代入y＝ax＋b，可得 解得∴直线的解析式是y＝4x－2. (2)根据图象可知，不等式ax＋b＞的解集为x＞1或－＜x＜0. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $