27.3 实际问题与反比例函数 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“实际问题与反比例函数”，引导学生探究建立反比例函数模型解决问题及利用图象确定解析式。通过“温故”回顾面积、体积等常见反比例关系，“知新”引入工程问题、杠杆原理等，搭建前后知识衔接的学习支架。 资料特色在于跨学科整合物理（压强、电路）与生活情境（茶叶销售、灌溉水泵），设计课前自测与详细解析。助力学生用数学眼光观察现实，用数学思维推理规律，用数学语言表达模型，提升模型意识与应用能力，适合自主学习与教学评估。

27.3 实际问题与反比例函数 (第1课时) 1.回顾常见的反比例关系，结合新课内容，探究建立反比例函数模型解决问题； 2.阅读课本P74—P75内容，自主探究实际问题与反比例函数第1小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 常见的与实际问题相关的反比例关系： (1) 面积一定时，矩形的________成反比例. (2) 面积一定时，三角形的一边长与______________成反比例. (3) 体积一定时，柱（锥）体的____________________成反比例. (4) 销售总价一定时，商品的______与销售数量成反比例. (5) 溶质质量一定时，溶液的________________成反比例. 知新——课本研习梳理 1.在工程问题中，基本数量关系为：工程量＝____________________. 2.杠杆原理：阻力×阻力臂＝__________________ 3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①找定值：从题意中找出乘积为定值的两个量 (如货物总量、杠杆“阻力×阻力臂”、容积、余额). ②列函数：设自变量和因变量，根据“定值＝自变量×因变量”，整理成(k为定值，)的形式. ③代值计算：代入已知自变量或因变量，求对应值. ④分析随的变化情况：利用反比例函数的性质解决“至少或最多”的最值问题. 课前自测 1.龙神茶，又名陇南绿茶，是甘肃省南部陇南地区的特色茶叶，产于该地的高山云雾之中，因品质上乘而享有盛誉.某茶叶专卖店购进一批龙神茶，若每天售出16盒，则25天就能售完；若每天售出x盒，则需要y天售完，下面用式子表示售完这批茶叶所用天数y与每天售出盒数x之间关系正确的是( ) A. B. C. D. 2.我们知道当杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若阻力和阻力臂分别为和，则要保持杠杆平衡，下列结论中错误的为( ) A.当动力臂为时，动力为 B.当动力臂为时，动力为 C.动力随着动力臂的加长而增大 D.动力和动力臂之间是反比例关系 3.在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系.当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟.则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为____. 4.近视眼镜镜片的度数y(度)与镜片焦距成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为. (1)求y与x的函数表达式； (2)已知王老师的近视眼镜镜片度数为200度，求该镜片的焦距. (第2课时) 1.回顾生活中的物理知识，结合新课内容，探究跨学科数学模型的构建； 2.阅读课本P76—P77内容，自主探究实际问题与反比例函数第2小节基础知识内容，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.在工程问题中，基本数量关系为：工程量＝____________________. 2.杠杆原理：阻力×阻力臂＝__________________ 3.用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①找定值：从题意中找出乘积为定值的两个量 (如货物总量、杠杆“阻力×阻力臂”、容积、余额). ②列函数：设自变量和因变量，根据“定值＝自变量×因变量”，整理成(k为定值，)的形式. ③代值计算：代入已知自变量或因变量，求对应值. ④分析随的变化情况：利用反比例函数的性质解决“至少或最多”的最值问题. 知新——课本研习梳理 由函数图象确定函数解析式的方法 一看轴：看横轴、纵轴表示的具体含义 二看图：观察图象形态，选择函数模型 三设式：设出函数解析式 四求解：将图中已知点的坐标代入解析式，求出待定系数 课前自测 1.某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强P(单位：)与受力面积S(单位：)存在反比例函数关系.下表是他们实验的几组数据： S(单位：) P(单位：) 则压强与受力面积之间的函数关系式是( ) A. B. C. D. 2.在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为( ) A. B. C. D. 3.某玩具汽车的功率P(单位：W)为定值，行驶速度v(单位：)与所受阻力F(单位：N)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率______W. 4.在某一电路中，电源电压U（单位：V）保持不变，电流I（单位：A）关于电阻R（单位：）的函数图象如图所示. (1)写出I关于R的函数解析式； (2)如果该电路中的电流不得超过，那么电阻R的取值范围是多少？ 第1课时 答案及解析 基础填空 温故——课前知识链接 长与宽；这条边上的高；底面积与底面上的高；单价；浓度与溶液质量 知新——课本研习梳理 1.工作效率×工作时间 2.动力×动力臂 课前自测 1.答案：A 解析：∵每天售出16盒，25天售完， ∴总盒数为 盒. 又∵每天售出x盒，y天售完， ∴， ∴. 故选A. 2.答案：C 解析：由题意可得：， 则F与l的函数表达式为：； A、当动力臂时，动力，正确，故A不符合题意； B、当动力臂时，动力，正确，故B不符合题意； C、动力随着动力臂的加长而减小，原说法错误，故C符合题意； D、动力和动力臂之间是反比例关系，正确，故D不符合题意； 故选：C. 3.答案： 解析：因为v与S成反比例函数关系， 所以设， 将，代入得： ， 因此出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为， 4.答案：(1) (2)0.5m 解析：(1)设y与x的函数表达式为， 400度近视眼镜镜片的焦距为， ∴， 即； (2)将代入可得： 该镜片的焦距为. 第2课时 答案及解析 基础填空 温故——课前知识链接 1.工作效率×工作时间 2.动力×动力臂 课前自测 1.答案：A 解析：设压强P(单位：)与受力面积S(单位：)的函数解析式为，把，代入解析式得：， 解得：， ∴压强与受力面积之间的函数关系式是. 故选：A. 2.答案：D 解析：设电流I与电阻R的函数解析式为， 将代入得，， . 故选：D. 3.答案：20 解析：设功率为P，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：. 4.答案：(1) (2) 解析：(1)根据题意可知图像经过 ， 解得， I关于R的函数解析式为； (2)∴，且， ∴， 解得， 电流不得超过，电阻R不得低于 学科网（北京）股份有限公司 $