【教案】26.4 第1课时 几何图形的最大面积（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

26.4　实际问题与二次函数

第1课时　最大高度和最大面积问题

1.通过图形的面积关系列出函数解析式；用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型．

2.从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界．

1.用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题．（重点）

2.通过图形的面积关系列出函数解析式．（难点）

知识链接：前面我们学习了实际问题与一元二次方程，回顾一下相关知识．

创设情境——见配套课件

　探究点一：求二次函数的最大（或最小）值

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=－4.9t2＋2.8t＋

11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位．）

追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？

重心的最大高度h与起跳后的时间t之间的关系．

追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点，最高点对应函数图象的哪个点呢？

画出二次函数图象（见教材P51图26.4－1），最高点对应函数图象的顶点．

追问3：运动员起跳后，运动中最大高度对应函数中的哪个值？

函数的最大值（顶点的纵坐标）．

追问4：如何求出运动员跳水过程中重心的最大高度？

解：对于二次函数h=－4.9t2＋2.8t＋11，当t=－=－≈0.3时，h有最大值==11.4.因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m．

　探究点二：二次函数与几何图形面积的最值

用总长为20 m的篱笆围成一个矩形菜园（一面靠墙，墙的可用长度不超过10 m），当垂直于墙的边长为多少米（设为x）时，菜园的面积S最大？

思考：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？

矩形的面积S与垂直于墙的边长x的关系．

分析：设垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为　（20－2x）　m，矩形菜园的面积S=　x（20－x）=－x2＋20x　．

问题：当x是多少时，菜园的面积S最大？

学生自行完成解答，教师点评，注意x取值应具有现实意义．

归纳总结：二次函数解决几何面积最值问题的方法

1.求出函数解析式和自变量的取值范围；

2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求函数的最大值或最小值；

3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值．

变式：用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园．

（1）当墙长32 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

（2）当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

（解答过程见配套课件）

1.（4分）用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系式y=－（x－12）2＋144（0＜x＜24），则该矩形的面积最大为　144 m2　．