26.4 第1课时 最大高度和几何图形面积问题 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”中最大高度和几何图形面积问题，通过复习二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值求法（配方法、顶点公式），搭建新旧知识桥梁，为新课建模分析做铺垫。 以矩形篱笆面积、跳水高度等实际问题为载体，引导学生用数学眼光抽象二次函数模型，通过列解析式、确定自变量范围、求最值培养数学思维，用函数语言表达解决方案。课堂注重解题步骤总结，提升学生应用能力，帮助教师高效落实核心素养教学。

26.4　实际问题与二次函数 第1课时 最大高度和几何图形面积问题 教学设计 课题 26.4 第1课时　最大高度和几何图形面积问题 授课人 教学目标 1.（2022新课标）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.（2022新课标）会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 3..通过抛物线或图形的面积关系列出函数解析式；.用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型. 4..从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界. 教学重点 用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题. 教学难点 通过抛物线或图形的面积关系列出函数解析式. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10. 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少. 提示：求解二次函数的最值一般有两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解. （1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6. （2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6. 师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 实际问题与二次函数 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化，当l是多少米时，矩形场地的面积S最大？ 师生活动：教师引导学生分析与矩形面积相关的量；教师设问，如何用含l的代数式表示与其相邻的边的长度； 学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性；针对问题要求进行求解，并回答问题. 教师关注：①学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式；②学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值. 师生活动：师生探讨解题思路、总结解题过程. （1）确定解题的步骤：先表示矩形的长和宽，再利用面积公式列解析式，最后求最值. （2）解答过程：矩形场地的一边长为l m，则另一边长为（30－l）m， 所以矩形场地的面积S＝l（30－l）＝－l2＋30l（0<l<30）. 当l＝－＝15时，S有最大值＝225. 也就是说，当l是15 m时，矩形场地的面积S最大. 总结：教师指导学生总结解答问题的方法和步骤，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路： （1）表示与面积相关的量；（2）利用面积公式列函数解析式，并进行整理；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用公式求出最值. 通过具体例子，让学生列出关系式，让学生在实践中感悟，提高学生利用函数思想解决问题的能力. 典例精析 【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水 面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 【解】对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11, 当t=-==0.3时，h有最大值 ==11.4 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m. 函数h=-4.9t²+2.8t+11的图象,直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化. 【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m 长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【解】设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为 (20-2x)m,矩形菜园的面积 S=x(20-2x), 即S=-2x²+20x(0<x<10). 当x=-==5时，S有最大值 ==50, 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面 积最大，最大面积为50 m². 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流. 随堂检测 1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　） A．25 cm2　　　　 B．50 cm2　　　　 C．100 cm2　　　　D．不确定 答案：B. 2．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（　　） A．20　　　　　　 B．40　　　　　　 C．100　　　　　　D．120 答案：D. 3.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h=-5t2+20t,则小球运动中的最大高度是  m. 解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， ∵-5＜0， ∴当t=2时，h有最大值，最大值为20， 故答案为：20． 4．如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y， 则BD＝(10－x)． 所以y=x(10-x)=-(x-5)2+ 所以，当x=5时，y有最大值. 即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了利用二次函数解决最大高度、几何图形面积的实际问题，紧扣建模思想、数形结合、最值求解的核心思路，将生活中的抛射物体、几何图形等实际场景，转化为二次函数模型，通过求函数顶点最值解决实际最优问题，体会从实际到数学、再从数学到实际的转化方法，掌握实际应用题的建模、求解、验根全流程。 2. 知识内容层面 · 掌握两类典型二次函数实际应用问题的建模思路、解题步骤、最值求法和实际意义检验. 通用解题步骤 审题设元：找准自变量和因变量，设定合适的未知数。 建立模型：根据题意和公式，列出二次函数解析式。 确定范围：结合实际场景，确定自变量的取值范围。 求最值：用配方法或顶点公式，求出函数的顶点最值。 检验合理性：判断最值对应的自变量是否在取值范围内。 规范作答：写明最大高度、最大面积及对应条件。 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳最大高度和几何图形面积问题的方法． 巩固所学知识，加深对二次函数解决实际问题的理解. 作业布置 板书设计 最大高度和几何图形面积问题 1.最大高度问题 2.几何图形面积问题. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $