第二十五章 一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学一元二次方程复习讲义通过表格梳理与分类整合构建知识体系，涵盖概念、解法、根与系数关系及实际应用四大模块。用对比表格呈现直接开平方法、配方法等五种解法的适用范围与步骤，用类型化框架归纳传播、销售等六大实际应用模型，清晰标注重点与难点，凸显知识内在逻辑。 讲义亮点在于“典例-变式-中考”三阶练习设计，如通过商品销售问题引导学生用数学语言建立利润模型，培养模型意识。根与系数关系题型结合判别式推理，发展运算能力与推理意识。分层设置A、B、C组练习，基础生可掌握解法步骤，优秀生能深化综合应用，为教师实施精准分层教学提供支持。

第二十五章 一元二次方程复习讲义 教学目标 1.熟练掌握一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系； 2.熟练运用一元二次方程解决各种常见的实际问题； 3.培养用方程刻画现实世界中等量关系的数学建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）解一元二次方程； （2）二元一次方程的实际应用； （3）根与系数的关系 2. 难点 （1）推导求根公式以及理解根与系数关系的推导过程； （2）从具体的实际情境中准确抽象出等量关系并建立方程模型。 知识点01 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。 3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 方法名称 适用范围 / 一般形式 具体解法或步骤 注意事项 1. 直接开平方法 适用于： （前提要求 ） ① 时：解为 ， ② 时：解为 ， ③ 时：解为 ， 必须确保等式另一边的常数 。若 ，则方程无实数解。 2. 配方法 一般形式 ① 移项： ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： ③ 化为完全平方式： ④ 若右边 ，直接开平方解出 配方法是推导公式法的基础，常用于二次项系数为 1、一次项系数为偶数的方程，解题过程容易因符号出错。 3. 公式法 标准形式 求根公式：，其中 称为判别式。 ① 当 ，有两个不相等实根 ② 当 ，有两个相等实根 ③ 当 ，无实数根 这是万能解法，适用于所有一元二次方程。在无法确定使用哪种方法时，直接套用公式最快。 4. 因式分解法 等式右边必须化为 0，左边易于分解因式 如果两个因式的积为 0，则至少有一个为 0。常用技巧： ① 提公因式法 ② 公式法（平方差、完全平方） ③ 十字相乘法 前提化为 的形式。 这是解方程最便捷、最迅速的方法，如果题目能因式分解，优先使用此法。 5. 换元法 含有重复代数式的高次或复杂方程 （如双二次方程 ） ① 将重复出现的代数式设为一个新的未知数（如设 或 ）。 ② 将原方程化为关于 的一元二次方程求解。 ③ 将求出的 代回所设关系式，最终求出 。 目的在于降次或简化结构。注意在换元后，需要留意新元 的取值范围，避免产生增根。 5.根与系数的关系 （1）根与系数的基本关系 若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为： 。 同时存在：。 （2）常考变形拓展公式 ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 ⑦ ⑧ 知识点02 一元二次方程的实际应用 1.列方程解实际应用题的步骤 ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2.一元二次方程实际应用的常见基本类型 ①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 ②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） ③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。 ④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 ⑤商品销售问题的基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） ⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 题型01 根据一元二次方程的定义求值 【典例1】关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______． 【变式1】下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【变式3】把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A．4，1，3 B． C． D． 【中考链接】已知方程的一个根是1，则_____． 题型02 根据一元二次方程的根代入求值 【典例1】已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 【变式1】一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【变式2】若a是方程的根，则代数式值是_________． 【变式3】已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【中考链接】若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 题型03 一元二次方程的解法 【典例1】解方程： 【变式1】解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【变式2】解方程：． 【变式3】关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【中考链接】关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 题型04 配方法的应用 【典例1】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A． B． C．0 D．3 【变式1】设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【变式2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【中考链接】已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 题型05 根的判别式、根与系数关系的应用 【典例1】若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【典例2】关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（ ） A． B． C．3 D．5 【变式1】已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D．无实数根 【变式2】已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 【变式4】已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【中考链接1】对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【中考链接2】已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 题型06 用一元二次方程解决实际问题 【典例1】中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ） A． B． C． D． 【典例2】某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营业时发现∶当销售单价为25元时，每天销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件． (1)设销售单价x元，销售量y件，请列出销售量y件与销售单价x元的关系式． (2)若商场要尽快减少库存且每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ 【变式1】某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】2023年安徽省货物进出口总额为亿元，2025年该省货物进出口总额达到亿元．若设2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率为x，依题意，可列出方程为（） A． B． C． D． 【变式3】一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程_____． 【变式4】如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，当为何值时，的面积等于？ 【中考链接】为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． A组·基础过关 1．已知关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则a的值可以是（ ） A．5 B．0 C．4 D．2 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 4．解下列方程： (1)用配方法解方程：；（配方法） (2)（公式法） (3)用适当方法解方程：； (4)． 5．2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（ ） A． B． C． D． B组·能力提升 6．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 7．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 8．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 9．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 10．如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． (1)用含的式子表示； (2)求矩形的长和宽． C组·拓展延伸 11．已知实数a、b、c满足，且，则（ ） A． B．2025 C． D． 12．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 13．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．已知方程，则该方程所有的实数根之和为（ ） A． B． C． D． 15．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程复习讲义 教学目标 1.熟练掌握一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系； 2.熟练运用一元二次方程解决各种常见的实际问题； 3.培养用方程刻画现实世界中等量关系的数学建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）解一元二次方程； （2）二元一次方程的实际应用； （3）根与系数的关系 2. 难点 （1）推导求根公式以及理解根与系数关系的推导过程； （2）从具体的实际情境中准确抽象出等量关系并建立方程模型。 知识点01 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。 3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。 4.一元二次方程的解法 方法名称 适用范围 / 一般形式 具体解法或步骤 注意事项 1. 直接开平方法 适用于： （前提要求 ） ① 时：解为 ， ② 时：解为 ， ③ 时：解为 ， 必须确保等式另一边的常数 。若 ，则方程无实数解。 2. 配方法 一般形式 ① 移项： ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： ③ 化为完全平方式： ④ 若右边 ，直接开平方解出 配方法是推导公式法的基础，常用于二次项系数为 1、一次项系数为偶数的方程，解题过程容易因符号出错。 3. 公式法 标准形式 求根公式：，其中 称为判别式。 ① 当 ，有两个不相等实根 ② 当 ，有两个相等实根 ③ 当 ，无实数根 这是万能解法，适用于所有一元二次方程。在无法确定使用哪种方法时，直接套用公式最快。 4. 因式分解法 等式右边必须化为 0，左边易于分解因式 如果两个因式的积为 0，则至少有一个为 0。常用技巧： ① 提公因式法 ② 公式法（平方差、完全平方） ③ 十字相乘法 前提化为 的形式。 这是解方程最便捷、最迅速的方法，如果题目能因式分解，优先使用此法。 5. 换元法 含有重复代数式的高次或复杂方程 （如双二次方程 ） ① 将重复出现的代数式设为一个新的未知数（如设 或 ）。 ② 将原方程化为关于 的一元二次方程求解。 ③ 将求出的 代回所设关系式，最终求出 。 目的在于降次或简化结构。注意在换元后，需要留意新元 的取值范围，避免产生增根。 5.根与系数的关系 （1）根与系数的基本关系 若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为： 。 同时存在：。 （2）常考变形拓展公式 ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 ⑦ ⑧ 知识点02 一元二次方程的实际应用 1.列方程解实际应用题的步骤 ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2.一元二次方程实际应用的常见基本类型 ①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 ②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） ③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。 ④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 ⑤商品销售问题的基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） ⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 题型01 根据一元二次方程的定义求值 【典例1】关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，掌握此概念是关键． 根据一元二次方程解的含义，把解代入所给的方程中，即可求得m的值，然后结合一元二次方程二次项系数不等于零求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴， ∴或，且 ∴． 故答案为：2． 【变式1】下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 【变式2】若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 【变式3】把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 【中考链接】已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 题型02 根据一元二次方程的根代入求值 【典例1】已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根： C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根的定义，结合根的判别式判断各选项，代入的值结合已知条件即可得到结论． 【详解】解：∵ 把代入一元二次方程， 可得左边 ， 又∵ 已知， ∴ 左边=右边，即一定是该方程的一个实数根，因此C正确，D错误； 判断根的个数：由得， 根的判别式， 说明方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误． 综上，正确选项为C． 【变式1】一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 【变式2】若a是方程的根，则代数式值是_________． 【答案】 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值． 【详解】解：是方程的根，且， ， 变形可得， 方程两边同时除以得， 即， ∴ ． 【变式3】已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】19 【分析】由一元二次方程的解、根与系数的关系得，，再代入即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 【中考链接】若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 题型03 一元二次方程的解法 【典例1】解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 【变式1】解下列方程： (1)(配方法)； (2)(公式法)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【变式2】解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 则， ， 即， ∴或， ． 【变式3】关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 【中考链接】关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 题型04 配方法的应用 【典例1】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 【变式2】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”例如：与是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_____． 【答案】2027 【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c和k，由第二个方程确定，，令第一个方程中的c相等，解出（舍去），再令k相等，解出，代入代数式，结合配方法求最小值，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴，，， 解得，， 则 ， 当时，则， ∴， 即代数式的最小值是， 故答案为：． 【中考链接】已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 【答案】6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 题型05 根的判别式、根与系数关系的应用 【典例1】若，则关于的一元二次方程 的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况． 【详解】关于的一元二次方程 ， 可得， ，即， ， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【典例2】关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（ ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解，最后验证方程有实根即可． 【详解】对于一元二次方程，其中，，， 因为方程有两个实数根，， 所以由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 ， 将上述结果代入等式得 ， 解得 ， 验证判别式：，符合方程有两个实数根的条件， 因此． 【变式1】已知，是关于的一元二次方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，先通过判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系得到两根之和、两根之积，逐一判断选项即可． 【详解】解：方程的判别式为：， 方程有两个不相等的实数根，即， 故选项A、D错误； 根据根与系数的关系得：，， 为任意实数， ，不是固定值， 故选项B错误，选项C正确． 【变式2】已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 【变式3】已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和，再联立已知等式求出两根，最后利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， 由根与系数的关系可得：， 联立方程组， 得， 解得， 将代入，得， 由根与系数的关系得， 因此． 【变式4】已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 【中考链接1】对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【中考链接2】已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 题型06 用一元二次方程解决实际问题 【典例1】中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为 元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为 元 ∴可列方程为 ． 【典例2】某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营业时发现∶当销售单价为25元时，每天销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件． (1)设销售单价x元，销售量y件，请列出销售量y件与销售单价x元的关系式． (2)若商场要尽快减少库存且每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)30 【分析】本题主要考查了列关系式，列一元二次方程解决销售问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系． （1）根据题意列出关系式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解：根据题意得， 解得， 为尽快减少库存，所以取， 所以，销售单价应定为30元． 【变式1】某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，每两队之间进行两场比赛，总比赛场数为所有可能两队组合数的2倍，即． 【详解】解：设有x个队参赛，每个队与其他个队各进行两场比赛，则每个队参加场比赛， ∵每场比赛有两个队参加， ∴总比赛场数为：， ∵给定总场数为90场， ∴． 故选：A． 【变式2】2023年安徽省货物进出口总额为亿元，2025年该省货物进出口总额达到亿元．若设2023年至2025年安徽省货物进出口总额的年平均增长率为x，依题意，可列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均增长率的增长规律，结合经过两年增长，利用初始总额和最终总额即可列出方程． 【详解】解：∵设年平均增长率为x，2023年进出口总额为亿元， ∴2024年进出口总额为亿元， ∴2025年进出口总额为亿元， 又∵2025年进出口总额为亿元， ∴可列方程为． 【变式3】一个两位数字，十位数字比个位数字大3，且这两个数字之积等于这个两位数字的，若设个位数字为，则可列出方程_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设个位数字为，则十位数字为，根据题意，找出等量关系，即可列出方程， 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 可列出方程为：， 故答案为：． 【变式4】如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)运动开始后，当为何值时，的长度等于？ (2)连接，当为何值时，的面积等于？ 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用等知识． （1）根据题意得到，根据勾股定理列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解； （2）由题意得，列方程，解方程，舍去不合题意解即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，根据勾股定理得， 解得（舍去），． 答：当为2时，的长度等于； （2）解：由题意得， ∵的面积等于， ∴， 解得（不合题意，舍去）． 答：当为1时，的面积等于． 【中考链接】为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元 (2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；② 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； （2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键． A组·基础过关 1．已知关于x的一元二次方程有两个不同的实数根，则a的值可以是（ ） A．5 B．0 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程定义得到二次项系数不为0，再根据方程有两个不相等实数根得到判别式大于0，解不等式得到a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程 ∴ ∵方程有两个不同的实数根 ∴判别式 化简得，解得 综上，的取值范围是且 选项中只有满足条件，故选项D符合题意． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 3．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 4．解下列方程： (1)用配方法解方程：；（配方法） (2)（公式法） (3)用适当方法解方程：； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，对于（1），先将二次项系数化为1，再两边都加上一项系数一半的平方，化成，再开方即可； 对于（2），先求出，再用求根公式计算即可； 对于（3），根据平方差公式分解求出解； 对于（4），先展开，再整理，根据公式法求解即可． 【详解】（1）两边除以4，得， 两边加上1，得， 即， 开方，得， ∴； （2）， 整理，得， ∵， ∴， 则， ∴； （3）， 整理，得， 即， 则， ∴； （4）， 整理，得， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．2026年油价突涨，以“98号”汽油为例，某加油站3月份收入为8.25万元，加油站5月份收入为16.17万元，若每个月涨价的百分率相同，则每个月收入的平均增长率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个月收入的平均增长率为，根据3月和5月的收入关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设每个月收入的平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 因此每个月收入的平均增长率为． B组·能力提升 6．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 7．用适当的方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ，， ∴ 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 解得，． 8．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 9．已知m、n是方程的两个根，代数式的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】对于第一空 ，根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，根据方程的解的定义推出，再由可得答案；对于第二空，由根与系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解： ， ∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； ∵m、n是方程的两个根， ∴， ∴ ． 10．如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． (1)用含的式子表示； (2)求矩形的长和宽． 【答案】(1) (2)矩形的长为，宽为 【分析】(1) 根据矩形纸板的长和宽，结合剪去的四个全等小长方形的边长关系，利用折叠后与重合的几何约束建立等式，从而用表示． (2) 根据底面矩形的面积公式建立关于的方程，求解得到矩形的长和宽． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， 由折叠可知， ，， ， 由折叠性质及与两边恰好重合且无重叠部分可知， ，， ，， 且， ， ． （2）解：底面矩形的面积为， ， 即， 将代入得， ， ，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 此时，，符合题意， 矩形的宽，长 C组·拓展延伸 11．已知实数a、b、c满足，且，则（ ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】通过换元将已知等式整理为关于的一元二次方程，利用因式分解得到根的关系，再将所求代数式变形后代入化简计算． 【详解】设，则，将x代入已知等式得：， 整理为关于x的一元二次方程：， 对左边因式分解得：， ∵， ∴方程的两根为和， 由已知条件得是方程的根， ∴， ∵， ∴， 将代入得： 原式， ∴结果为． 12．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到以及，将用含和的式子表示后代入已知等式整理，即可求出的值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 将代入得， 解得. 13．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 14．已知方程，则该方程所有的实数根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．通过换元法将原方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，再代回解关于的方程，仅有一个二次方程有实数根，利用根与系数关系求和． 【详解】解：设，则原方程化为． ∵， ∴判别式， ∴， 即，． ∴或． 对于，即，判别式，无实数根． 对于，即，有实数根，根之和为． ∴所有实数根之和为． 故选：A． 15．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 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