25 数学活动（一）探究方程有公共解的条件&数学活动（二）神奇的线段分割-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）黑龙江专版

第二十五章一元二次方程 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 [答案P8] ①已知a,b,c是非零实数，关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c=0,4bx2+4cx+a=0,4cx2+4ax+b=0 有公共解，则代藏式后号一吕的值为 2定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程. (1)已知x=2是x2+2x+c=0的倒方程的解，求c的值； (2)若一元二次方程ax2-2x+c=0无解，求证：它的倒方程也一定无解； (3)一元二次方程ax2-2x+c=0(a≠c)与它的倒方程只有一个公共解，它的倒方程只有一个解，求a 和c的值 25 同步练测·九年级数学（上册） 数学活动（二）神奇的线段分割 [答案P8] 如图所示线段AB,定义“完美分割”：将AB分成三条两两不等的线段a,b,c(a>b>c),满足a=b+c 贴哈日 (1)求证：这样的“完美分割”存在，并求出a:b:c的最简比； (2)用直尺和圆规作出线段AB的“完美分割点”M,N(保留作图痕迹). A 题图 260同步练测·九年级数学（上册） 意，舍去)， 所以小明的说法不正确. 专题3一元二次方程的其他应用 1.C2.83.B 4.解：(1)点P从点A到点B的时间为6÷1=6(s),点Q从点 B到点C的时间为8÷2=4(s). 设经过ts,△PBQ的面积等于8cm2, 则2(6-t)2=8,2-6t+8=0, 解得t1=2,=4, ∴.经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2. (2)不会.理由： 在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, 1 六SAARG=2×6x8=24(cm), 设经过ms,△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半， 根据题意，得乃(6-m)·2m=子×24， .m2-6m+12=0. 62-4ac=(-6)2-4×12=36-48=-12<0, .关于m的一元二次方程无实数根， .△PBQ的面积不会等于△ABC的面积的一半. 5.解：(1)10 n(n+1) 2 (2)令nn,+D=29, 2 4=12-4×1×(-58)=233. 233不是完全平方数， .方程无正整数根， .不存在这样的图形 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 1.2或-1[解析]：关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c =0,4bx2+4cx+a=0,4cx2+4ax+b=0有公共解，.可设 公共解为h,则a2+bl+年=0，b2+t+朵=0，cd2+au+ 年=0，三式相加，得(a+6+o)2+(a+b+c)+++上 4 0,即(a+b+e)(e+i+4）=0.:2++4=(+2)》 ≥0，a+6+c=0或1=-分，当a+6+e=0时，即c -a-b时，原式=2-2-2=（-a-b2-2-2 ab ab 2+2ab+-0=心2驰-2；当t=-之时，分别代入三 一三 ab ab 个方程可得a-2b+c=0,a+b-2c=0,联立两式解得a=b =c,此时C-g-=2-g-a=1-1-1=-1. ab-b-aa·aaa 综上所选，代教式号-只-凸的值为2或-1 ab-b-a 2.(1)解：x2+2x+c=0的倒方程为cx2+2x+1=0, ·8… 把x=2代入cx2+2x+1=0,得4c+4+1=0, 解得e=一子 (2)证明：一元二次方程ax2-2x+c=0无解， 4=(-2)2-4ac<0,.ac>1, 一元二次方程ax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+a=0. 4'=(-2)2-4ca=4-4ac, 而ac>1,∴.△'<0，.它的倒方程也一定无解 (3)解：一元二次方程ax2-2x+c=0的倒方程为cx2-2x+ a=0,而倒方程只有一个解， c=0,则-2x+a=0,解得x=受 把x=号代入a㎡2-2x=0,得ax 4-a=0, 而a≠0，∴.a=2或a=-2. 数学活动（二）神奇的线段分割 ra=b+c, (1)证明：由题意，得 111 a+方=, 把a=6+代入日+=e+古=日 a 整理，得62-bc-c2=0. 把上式看成关于6的一元二次方程，由求根公式，得b=1±5。 C 2 因为b>0,c>0,所以取正根6=1+5。 2C, 代人a=6+e,得a告5。+e35 2c, 所以a:b:c=(3+V5):(1+V5):2, 所以这样的“完美分割”存在，三条线段的最简比为(3+√5)： (1+√5)：2. (2)解：如答图所示，点M,N即为所求的点. A F M ENB 答图 易错疑难集训一 1.B2.-23.B 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2