27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质(2)（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象性质、k的几何意义及与一次函数的综合应用，通过复习反比例函数的图象（双曲线）和k与象限、增减性的关系，搭建新旧知识支架，自然衔接新知探究。 其亮点在于以合作探究（如k的几何意义通过矩形面积猜想与证明）和分层练一练为载体，培养学生数学眼光中的几何直观、数学思维中的推理意识，采用讲练结合与问题驱动，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质(2) 人教版 九年级（上） 1.对函数进行认识上的整合，提高从函数图象中获取信息的能力. 2.掌握反比例函数反比例函数图象上点的坐标特征.（重点） 3.理解并掌握反比例函数图象的性质，了解 k 的几何意义.（难点） 素养目标 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题1 问题2 复习导入 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (-2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(－2，4) 在第二象限， 所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 新知探究 (2) 点 B (1，-8)，C ( ， )，D (2，4) 是否在这个函数的图象上？ 因此，这个反比例函数的解析式为 . 解：设这个反比例函数的解析式为 . 因为点 A (-2，4) 在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ， 解得 k = -8. 即 因为点 B，C 的坐标都满足 ，点 D 的坐标不满足 ，所以点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 1. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 . 【练一练】 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． 当 x = -1， 当 x = 3， 新知探究 (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小. ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 探究点1：用待定系数法求反比例函数的解析式 新知探究 (1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？ O x y 例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以 m－5＞0，解得 m＞5. 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 新知探究 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5＞0， 所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小. 因此，当 x1＞x2 时，y1＜y2. O x y 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 新知探究 2. 如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1 探究点2：反比例函数图象和性质的综合 【练一练】 新知探究 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格： 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 【合作探究】 新知探究 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) ，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1与 S2 的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两 点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP=|k|. 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. B P A S 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 ， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作 的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA， SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 做一做 根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA·yA＝k. 又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4. ∴ 反比例函数的解析式为 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 y x O P A k 的绝对值为12 图象在第二、四象限，故 k＜0 【练一练】 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 4. 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变性易 知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于 点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2， 而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3. F S1 S2 S3 【练一练】 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 y D B A C x 例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___. 3 2 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形. O 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 5.如图，函数 y＝－x 与函数 y＝－ 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 y＝－ 【练一练】 探究点3：反比例函数解析式中 k 的几何意义 新知探究 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② 【合作探究】 新知探究 k2 < 0 b < 0 k1 < 0 k2 < 0 b > 0 ③ x y O k1 > 0 ④ x y O 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 例 6 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了. 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 6. 如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围 是 ． －1 2 y x O A B x < －1 或 0 < x < 2 【练一练】 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 探究点4：反比例函数与一次函数的综合 新知探究 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 课堂小结 1.已知点 P(2，6) 在反比例函数 y＝ (k≠0) 的图象上，则 k 的值是(　B　) A. 3 B. 12 C. D. B 2. 如图，点 P 为反比例函数 y＝－ 图象上的任意一点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，则△POC 的面积为 ⁠. 　 当堂反馈 3. 已知函数y＝的图象与直线y＝x没有交 点，则m的取值范围是 ⁠. m＞2　 草图通关 反比例函数的图象在第 象限和第 ⁠象 限. 二　 四　 当堂反馈 4. 如图，直线 y＝ax＋b 与双曲线 y＝ 相交于 A(1，2)， B(m，－4)两点. (1)求直线与双曲线的解析式； 解：(1)先把 (1，2) 代入双曲线 y＝ 中，得 k＝2， 故双曲线的解析式是 y＝.当 y＝－4 时，m＝－. 把(1，2)，(－，－4)代入y＝ax＋b， 可得 解得 ∴直线的解析式是 y＝4x－2. 当堂反馈 (2)[高频易错]求不等式ax＋b＞的解集. 易错通关： 易错通关： 1. 反比例函数与一次函数的大小关系在对称象限中 必然反向； 2. 注意x≠0. (2)根据图象可知，不等式 ax＋b＞ 的 解集为x＞1或－＜x＜0. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $