26.3 第2课时 求一元二次方程的近似解（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，核心内容为用二次函数图象求一元二次方程近似解及一元二次不等式解集。通过复习上节课方程与函数关系的问题导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生思考图象法求根的方法，形成学习支架。 其亮点在于以例1“用二分法求方程x²-2x-2=0近似解”为载体，结合函数图象与x轴交点分析，培养几何直观和推理能力。通过表格对比判别式与不等式解集关系，渗透模型意识，帮助学生结构化认知。学生能提升数形结合能力，教师可借助清晰流程和多样化练习提高教学效果。

第26章 二次函数 第2课时 求一元二次方程的近似解 26.3 二次函数与一元二次方程 人教版 九年级（上） 1 1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集； （重点） 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.（难点） 素养目标 问题：上节课我们学习了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a≠0) 和二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢? 复习导入 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例1 利用函数图象求方程 x2 − 2x − 2 = 0 的根的近似值 (结果保留小数点后一位). 分析：一元二次方程 x² − 2x − 2 = 0 的根就是抛物线 y = x² − 2x − 2 与 x 轴的公共点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 新知探究 解：画出函数 y = x² − 2x − 2 的图象(如下图)， 则方程有两个实数根，一个在 −1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间. 通过取平均数的方法不断缩小根的范围. y = -0.75＜0 y = 0.062 5＞0 根在 2.5 与 3 之间. 根在 2.5 与 2.75 之间. 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 (2,-2) (3,1) 新知探究 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 2.625，2.75 之间，在 2.687 5，2.75 之间······ 可以看到： 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值， 最终，根要求精确到 0.1，故取 x1≈2.7. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 | 2.687 5 - 2.75 | = 0.0625 < 0.1，我们可以将 2.687 5 作为根的近似值. 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 新知探究 你能用这种方法得出方程 x² − 2x − 2 = 0 的另一个根的近似值吗 (要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1) ？ 由图像得，另一个根在 −1 与 0 之间. y = -0.75＜0 y = 0.0625＞0 通过取平均数的方法不断缩小根的范围. 根在 −1 与 −0.5 之间. 根在 −0.75 与 −0.5 之间. 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 新知探究 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在 −0.75，−0.625 之间，在 −0.75 ， −0.6875 之间······ 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于 | −0.6875 - (−0.75) | = 0.0625 < 0.1，我们可以将 −0.6875 作为根的近似值. 最终，根要求精确到 0.1，故取 x2≈-0.7. 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 新知探究 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根： (1) 用描点法作二次函数的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值). (3) 确定方程的近似解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 新知探究 【练一练】1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为 ( 　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3， x2≈1 B 解析：由图象可得该抛物线的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点 到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5. 又 ∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1. ∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故 x1≈－2.5，x2≈0.5. 探究点1：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 新知探究 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 问题1：函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是____________. 3 -1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 【合作探究】 新知探究 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. 3 −1 O x 2 (4，2) (−2，2) x1 = −2，x2 = 4 x < −2 或 x > 4 −2 < x < 4 y −2 4 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 新知探究 问题2：如果不等式ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个公共点，坐标是 ；方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 1 (2 ，0) x1 = x2 = 2 2 O x y 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 新知探究 问题3：如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有______个公共点；不等式 ax2 + bx + c ＜ 0 的解集是什么？ 0 解：(1) 当 a＞0 时，ax2 + bx + c＜0 无解. (2) 当 a＜0 时，ax2 + bx + c＜0的解集是全体实数. O x y 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 新知探究 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 x<x1或x>x2 x1<x<x2 有一个交点 x≠x1或x≠x2 无解 无交点 全体实数 无解 x2 x1 O x y x1=x2 O x y O x y 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 新知探究 b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集 有两个交点 有一个交点 无交点 x1<x<x2 无解 无解 x<x1或x>x2 x≠x1或x≠x2 全体实数 x2 x1 O x y x1=x2 O x y O x y 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 新知探究 x y O 2 O x y -1 2 x y O y = -x2+x+2 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)① -x2+x+2=0； ② -x2+x+2>0； ③ -x2+x+2<0. (2)① x2-4x+4=0； ② x2-4x+4>0； ③ x2-4x+4<0. (3)① -x2+x-2=0； ② -x2+x-2>0； ③ -x2+x-2<0. y = x2-4x+4 y = -x2+x-2 ①x1 = -1，x2 = 2 ③x＜-1或 x＞2 ① x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ 无解 ① 无解 ② 无解 ③ x 为全体实数 ②-1＜x＜2 探究点2：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 新知探究 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置， 判断方程根的近似值 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 课堂小结 判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0，a，b，c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 当堂反馈 2.小颖用计算器探索方程 ax2 + bx + c = 0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x = -3.4，则方程的另一个近似根(精确到 0.1 )为(　　) A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D 当堂反馈 3.用图象法求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 当堂反馈 4.已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ x y O 2 4 8 解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $