26.2.2 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数$y=ax^2+k$的图象特征、性质及平移规律，通过回顾$y=ax^2$，类比一元二次方程配方法，引导学生将复杂函数转化为基础形式，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于通过探究活动（如描点画图对比平移）培养几何直观与抽象能力，练习题由浅入深（如平移、最值题）锻炼推理能力，表格总结性质体现数学语言的精确性。帮助学生理解知识本质提升解题能力，也为教师提供系统教学资源便于课堂巩固与分层教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.2.2 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 2026年8月3日 人教版九年级上册26.2.2第1课时 二次函数$y=ax^2+k$的图象和性质同步练习题 一、知识梳理 二次函数$y=ax^2+k$（$a≠0$）是由基础二次函数$y=ax^2$上下平移得到的函数，属于顶点式的基础形式，图象依旧是抛物线，形状、开口大小、开口方向与$y=ax^2$完全相同，仅顶点位置发生改变，是研究二次函数图象平移规律的重要基础。 该函数的核心图象特征：对称轴为直线$x=0$（$y$轴），始终与$y=ax^2$对称轴一致；顶点坐标为$(0,k)$，相较于$y=ax^2$的顶点$(0,0)$，沿$y$轴发生平移。平移规律遵循“上加下减”：当$k>0$时，抛物线由$y=ax^2$向上平移$k$个单位；当$k<0$时，抛物线由$y=ax^2$向下平移$|k|$个单位。 函数增减性与最值由$a$的符号决定：当$a>0$时，抛物线开口向上，顶点$(0,k)$为最低点，当$x<0$时，$y$随$x$增大而减小；当$x>0$时，$y$随$x$增大而增大，函数最小值为$y=k$。当$a<0$时，抛物线开口向下，顶点$(0,k)$为最高点，当$x<0$时，$y$随$x$增大而增大；当$x>0$时，$y$随$x$增大而减小，函数最大值为$y=k$。 综上，$a$决定抛物线的开口方向和宽窄，$k$决定抛物线的上下平移位置，掌握两个参数的几何意义，即可快速判断函数图象与性质，解决平移、最值、函数值大小比较等基础题型。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$y=2x^2+3$的顶点坐标是（） A.$(0,3)$ B.$(3,0)$ C.$(0,-3)$ D.$(-3,0)$ 2. 将抛物线$y=4x^2$向下平移2个单位，得到的抛物线解析式是（） A.$y=4x^2+2$ B.$y=4x^2-2$ C.$y=4(x-2)^2$ D.$y=4(x+2)^2$ 3. 对于抛物线$y=-x^2+5$，下列说法错误的是（） A. 开口向下 B. 对称轴是$y$轴 C. 最大值为5 D. 当$x>0$时，$y$随$x$增大而增大 4. 下列抛物线中，对称轴为$y$轴且开口向上的是（） A.$y=-3x^2-1$ B.$y=2x^2+5$ C.$y=(x+1)^2$ D.$y=3x+2$ 5. 抛物线$y=5x^2-4$与$y=5x^2$的图象关系是（） A. 形状不同，上下平移 B. 形状相同，上下平移 C. 形状不同，左右平移 D. 形状相同，左右平移 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数$y=-2x^2+6$的对称轴是________，最值为________。 2. 抛物线$y=3x^2-1$是由$y=3x^2$向________平移________个单位得到的。 3. 对于函数$y=x^2-4$，当$x$________时，$y$随$x$的增大而增大。 4. 已知抛物线$y=ax^2+2$经过点$(1,5)$，则$a=$________。 5. 点$M(-2,y_1)$、$N(3,y_2)$在抛物线$y=-x^2+2$上，则$y_1$________$y_2$（填“$>$”“$<$”或“$=$”）。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 抛物线$y=-x^2+3$的顶点在$y$轴正半轴上。（） 2. 二次函数$y=2x^2-5$有最小值，最小值为5。（） 3. 抛物线$y=ax^2+k$的图象一定关于$y$轴对称。（） 4. 将$y=-3x^2$向上平移1个单位得$y=-3x^2+1$。（） 5. 当$x<0$时，$y=-2x^2+4$中$y$随$x$的增大而减小。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）已知二次函数$y=-3x^2+4$。 （1）说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）分析函数的增减性与最值； （3）说明该抛物线与$y=-3x^2$的平移关系。 2. （11分）已知抛物线$y=ax^2+k$经过点$(0,-2)$和$(2,6)$。 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）判断当$x=-1$时，函数$y$的值为多少。 3. （12分）已知抛物线$y=2x^2+m-1$。 （1）若抛物线的顶点在$y$轴正半轴，求$m$的取值范围； （2）若抛物线的最小值为2，求$m$的值； （3）将抛物线向上平移3个单位后经过原点，求$m$的值。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 二、填空题：1.直线$x=0$，最大值6；2.下，1；3.$>0$；4.$3$；5.$>$ 三、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.× 四、解答题 1. 解：（1）$a=-3<0$，开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标$(0,4)$；（2）当$x<0$时，$y$随$x$增大而增大，当$x>0$时，$y$随$x$增大而减小，函数最大值为4，无最小值；（3）由抛物线$y=-3x^2$向上平移4个单位得到。 2. 解：（1）将$(0,-2)$代入得$k=-2$，再将$(2,6)$代入$y=ax^2-2$，得$4a-2=6$，解得$a=2$，解析式为$y=2x^2-2$；（2）当$x=-1$时，$y=2×1-2=0$。 3. 解：（1）顶点坐标$(0,m-1)$，顶点在$y$轴正半轴则$m-1>0$，即$m>1$；（2）$a=2>0$，最小值为$m-1=2$，解得$m=3$；（3）平移后解析式为$y=2x^2+m-1+3=2x^2+m+2$，代入$(0,0)$得$m+2=0$，解得$m=-2$。 本套习题聚焦$y=ax^2+k$的平移规律、图象性质、最值求解和解析式确定，贴合课时核心考点，题型由浅入深，适合课堂巩固、课后作业及自主复习使用。 在研究了y=ax2 的图象和性质之后，我们进一步探讨当b,c不全为0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.如何研究呢？能否将 y=ax2+bx+c 转化为类似 y=ax2 的简单形式？ 思考：回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？由此，你得到了什么启发？ ax2+bx+c=0 a(x2+x)+c=0 a[x2+x+()2]－a()2+c=0 a(x+)2－+=0 a(x+)2+=0 ax2+bx+c=0 a(x+)2+=0 y=ax2+bx+c  y=a(x-h)2+k 思考：用a,b,c表示，这里的h和k分别是什么？ h=﹣k=. 先来讨论当 h=0，k≠0 时，二次函数 y=ax2+k 的图象和性质. 1. 返回 二次函数y＝x2＋1的图象大致是(　　) B 举一反三 5 返回 2. 抛物线y＝－3x2－2的开口(　　) A．向上 B．向右 C．向下 D．向左 C 举一反三 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …  y=x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 …  y=x2-2 … 6 2.5 0 −1.5 −2 −1.5 0 2.5 6 … 先列表： 然后描点画图，就得到 y=x2+2， y=x2-2 的图象. y=x2+2 y=x2-2 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0,2)； 抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0,-2). y=x2+2 y=x2-2 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 探究 (2) 抛物线 y=x2+2， y=x2-2 与抛物线 y=x2 有什么关系？ y=x2+2 y=x2-2 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2； 把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 也可以利用信息技术工具画函数 y=a+k 的图象 （不妨令a为0.5）. 改变 k 的值，可以发现，随着 k 的变化，二次函数y=a+k 的图象在向上或向下平移，即把抛物线y=a 向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位长度，就得到抛物线 y=a+k. 思考：你能归纳出二次函数 y=a+k 的图象特征和性质吗？ 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向下平移|k|个单位长度 抛物线y=a+k 抛物线y=a 沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 （1）当k>0时： （2）当k<0时： 简记为“上加下减常数项” 返回 3. 函数y＝2x2－9的图象的顶点坐标和对称轴分别是(　　) A．(－9，0)，直线x＝－9 B．(9，0)，直线x＝9 C．(0，－9)，y轴 D．(0，9)，y轴 C 举一反三 返回 4. 二次函数y＝－5x2－1的最值情况是(　　) A．有最小值－1 B．有最大值－1 C．有最小值5 D．有最大值－5 B 举一反三 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 二次函数y=ax²+k的图象和性质 已知抛物线 y=2x²-3. (1)它的开口向_______,对称轴为__________________,顶点坐标为_______; (2)把抛物线 y=2x² 向_______平移_______个单位长度可得抛物线 y=2x²-3; (3)当x_______时，y随x的增大而减小，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，函数y有最小值，最小值是_______. 例1 y=2x²-3 y=2x² y轴(或直线x=0) (0,-3) 上 下 3 <0 >0 =0 -3 [石家庄平山期中]若二次函数y＝－x2＋1的图象过点(1，y1)和(2，y2)，则y1，y2的大小关系为(　　) A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 返回 5. B 举一反三 【新视角 结论开放题】已知二次函数y＝－x2＋c的图象不经过第一、二象限，请写出一个合适的常数c的值：__________________． 返回 6. －1(答案不唯一) 举一反三 返回 7. 抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，2)，则该抛物线的解析式是____________． y＝3x2＋2 举一反三 返回 8. 已知二次函数y＝x2－2. (1)写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及y随x的变化情况； 解：此函数图象的开口向上，顶点坐标为(0，－2)，对称轴为y轴．当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大． 举一反三 返回 (2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围． 解：易知当x＝0时，y取得最小值，为－2， 当x＝2时，y取得最大值，为2. 所以当－1≤x≤2时，y的取值范围是－2≤y≤2. 举一反三 返回 9. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是(　　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 A 举一反三 21 返回 10. 抛物线y＝－2x2经过平移得到抛物线y＝－2x2－5，则这个平移过程是(　　) A．向左平移5个单位长度 B．向右平移5个单位长度 C．向上平移5个单位长度 D．向下平移5个单位长度 D 举一反三 22 返回 11. [教材P38练习变式]在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝－x2，y＝－x2＋1的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； 解：如图所示． (1)抛物线y＝－x2：开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0，0)； 抛物线y＝－x2＋1：开口向下，对称轴为y轴， 顶点坐标为(0，1)． 举一反三 23 返回 (2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2向________平移________个单位长度得到． 上 3 举一反三 24 返回 12. [秦皇岛期末]在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2－m的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　) A．点D B．点C C．点B D．点A A 举一反三 25 13. 抛物线y＝－x2＋1与y＝－x2－2的不同之处是(　　) A．开口方向 B．对称轴 C．顶点坐标 D．形状 C 返回 举一反三 14. 已知二次函数y＝x2－1，当－2≤x≤1时，函数值y的取值范围是(　　) A．0≤y≤3 B．－1≤y≤0 C．0≤y≤1 D．－1≤y≤3 D 返回 举一反三 15. 已知抛物线y1＝x2－2经过平移后得到抛物线y2＝x2－4，若抛物线y1＝x2－2上任意一点M的坐标是(m，n)，则其在抛物线y2＝x2－4上的对应点M′的坐标一定是(　　) A．(m，n－2) B．(m－2，n) C．(m＋2，n) D．(m，n＋2) A 返回 举一反三 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 二次函数y=ax2+k的图象和性质 图象 性质 与抛物线y=ax2的关系 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴 平移规律： 上加下减常数项 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 $