数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程公共解条件及线段分割的数量关系与尺规作图，通过“三个方程公共解规律”“线段分割的巧合与必然”两个任务导入，引导学生经历“设公共解-代入推导-验证条件”（如a+b+c=0，公共解x=1）和“代数推导黄金分割比例-尺规作图实现分割”的探究过程，搭建“猜想-验证-推导”的学习支架。 其特色在于以问题链驱动逻辑推理与数形结合，方程公共解通过设元代入、三式相加构建系数关系，线段分割从代数方程转化为黄金分割比例并尺规作图，发展抽象能力与几何直观。小结采用“通用思路+实例应用”，帮助学生掌握探究方法，教师可借助情境任务提升课堂互动，激发学生主动探究兴趣。

数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 第25章 一元二次方程 人教版九年级（上） 1. 通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. (难点、重点) 2. 经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣. 素养目标 如何解决下列两个任务： 任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？ 任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？ 情境导入 探究点一：探究方程有公共解的条件 活动1：已知 abc≠0，下列方程： ax² + bx + c = 0， ① bx² + cx + a = 0， ② cx² + ax + b = 0. ③ 恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解. 问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？ 设公共解为 k 新知探究 问题2：将 k 代入三个方程，能得到什么式子？ 问题3：如何处理这三个式子，得到 a，b，c 的关系？ ax² + bx + c = 0， ① bx² + cx + a = 0， ② cx² + ax + b = 0. ③ ak² + bk + c = 0， bk² + ck + a = 0， ck² + ak + b = 0. 新知探究 ak² + bk + c = 0， bk² + ck + a = 0， ck² + ak + b = 0. 将三式相加： (a + b + c)k² + (b + c + a)k + (c + a + b) = 0 提取公因式： (a + b + c)(k² + k + 1) = 0 分析：k² + k + 1 = 因此必有 a + b + c = 0. k²+k+1能等于0吗？为什么？ 新知探究 ax² + bx + c = 0， ① bx² + cx + a = 0， ② cx² + ax + b = 0. ③ 当 a + b + c = 0 时，c = -a - b，代入方程①: ax² + bx - a - b = 0 因式分解： a(x² - 1) + b(x - 1) = 0 (x - 1) [ a(x + 1) + b] = 0 解得 x = 1 或 验证：将 x = 1 代入方程 ②、③，均满足 a + b + c = 0，因此公共解为 x = 1，条件为a + b + c = 0 (abc≠0). 新知探究 【归纳小结】 多个方程公共解问题的通用思路： 设公共解 → 代入方程 →构造关系式→分析系数条件 新知探究 探究点二：探究方程有公共解的条件 活动2 神奇的线段分割 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧. 你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？ 依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为 L = a + b + c，当 a = b + c 时，只需在原线段上先截取长为 b 的段，再截取长为 c 的段，剩余部分即为 a (a = L - b - c = b + c )，可实现共线的三段分割. 新知探究 李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a > b > c，你能找到合适的 a，b，c，使 a = b + c 和 同时成立吗？ 把 a = b + c 代入 ，将 a = b + c 代入分式方程: c(2b +c) = b² + bc c² + bc - b² = 0 新知探究 两边除以 b²， t² + t - 1 = 0 设 (t＞1)，得 解得 c² + bc - b² = 0 即 c = b，a = b + c = b. 比如取 b = 2，那 c = a = b + c = ，这样就满足条件. 新知探究 1. 作线段 AB (即 b )，过 A 作 AB 的垂线，截取 AE = AB； 2. 连接 BE，以 E 为圆心，AE 为半径画弧，交 BE 于 F； 3. 以 B 为圆心，BF 为半径画弧，交 AB 于 D，此时 BD(即 c ) = AB ； 4. 再以 D 为起点，按比例截取 DC，使 DC(即 a ) = AD，得 到第二个分点 C。 思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？ C A B E F D 新知探究 1.方程公共解问题：设公共解、代入推导，核心是构造系数关系，本题中 a + b + c = 0 ，公共解为 x = 1. 2.线段分割问题：通过代数推导得到黄金分割比例，再用尺规作图实现，体会代数与几何的联系. 3.方法总结：探究数学问题的通用思路—设元、代入、推导、验证、应用. 课堂小结 1. 已知三个一元二次方程：x² + bx + c = 0、bx² + cx + 1 = 0、cx² + x + b = 0 有唯一公共解，且 b = 2，则 c = . 2. 将一条长为 10 cm 的线段分成三段 m，n，p ( p 为最长段)，满足 p = m + n 且 n 与 m 的数量关系 . -3 课堂小结 学习用优翼 越来越优异 年举办公益 教研活动场次 优翼产品与服务 历年中小学生使用人次 优翼网教学资源 每年服务师生人次 3亿+ 300+ 3000万+ · 学练优 | 新领程 | 涂重点 | 优翼网 教学资源服务平台 www.youyi100.com 学习用优翼 越来越优异 优翼教学工具书（初中系列）“3+n”选购指南： 同步练习1本、教材笔记1本、检测试卷1本 + 专项提升n本 同步练习：学练优 新领程 假期作业：暑假衔接 寒假衔接 教材笔记：新领程·涂重点 中考系列：中考新领程（精讲精练册+模拟卷） 试卷系列：抢分卷 、预测卷、压轴卷 字帖系列：四步法写字 写字高手 静心字帖…… 优翼网 教学资源服务平台 www.youyi800.com 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $