第二十五章 一元二次方程【章末复习】（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、韦达定理及应用，通过基础知识点填空和知识结构框图将核心内容串联，构建从概念到应用的完整知识网络。 其亮点在于采用分层复习策略，基础题夯实抽象能力，解方程题提升运算能力，增长率应用题培养模型意识，还设计逆向思维等新考法激发创新意识。助力学生巩固知识，教师精准教学，提高复习针对性。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十五章 一元二次方程 章末复习 2026年8月1日 第二十五章 一元二次方程 全章综合练习题 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的________方程，叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式为________（$$a eq0$$），其中________是二次项，$$a$$是二次项系数。 3. 一元二次方程的解法有：直接开平方法、________、________、公式法。 4. 求根公式：对于$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当$$b^2-4ac\ge0$$时，$$x=$$________。 5. 根的判别式：$$\Delta=$$________。$$\Delta>0$$，方程有________实数根。 6. $$\Delta=0$$，方程有________实数根；$$\Delta<0$$，方程________实数根。 7. 韦达定理：若方程$$ax^2+bx+c=0$$的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$________，$$x_1x_2=$$________。 8. 若一元二次方程常数项为0，则方程必有一根为________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A.$$x+2=0$$ B.$$x^2-3x=0$$ C.$$x^2+y=1$$ D.$$x^3+x=2$$ 2. 方程$$2x^2-5x+1=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A.2、5、1 B.2、-5、1 C.-2、5、1 D.2、-5、-1 3. 方程$$x^2-4=0$$的解是（） A.$$x=2$$ B.$$x=-2$$ C.$$x_1=2,x_2=-2$$ D.无解 4. 一元二次方程$$x^2-2x+1=0$$的根的情况是（） A.两个不相等实数根 B.两个相等实数根 C.无实数根 D.无法判断 5. 已知方程两根之和为3，两根之积为2，则该方程是（） A.$$x^2+3x+2=0$$ B.$$x^2-3x+2=0$$ C.$$x^2+3x-2=0$$ D.$$x^2-3x-2=0$$ 6. 用配方法解方程$$x^2-6x+5=0$$，配方后为（） A.$$(x-3)^2=4$$ B.$$(x-3)^2=9$$ C.$$(x+3)^2=4$$ D.$$(x-6)^2=31$$ 7. 某商品连续两次降价，每次降价百分率为$$x$$，原价100元，现价64元，列方程为（） A.$$100(1-x)^2=64$$ B.$$100(1-2x)=64$$ C.$$100x^2=64$$ D.$$64(1+x)^2=100$$ 三、解答题（共42分） 1. 基础简答（每题6分，共24分） 1. 简述一元二次方程的定义，并写出一般形式及限定条件。 2. 说明根的判别式的三种取值情况对应的方程根的状态。 3. 简述配方法解一元二次方程的基本步骤。 4. 写出韦达定理的内容，并说明使用前提。 2. 解方程计算题（9分） 选用合适方法解方程：$$x^2-5x+6=0$$。 3. 增长率应用题（9分） 某工厂一月份产值为50万元，三月份产值为72万元，求月平均增长率。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 一；2；整式 2. $$ax^2+bx+c=0$$；$$ax^2$$ 3. 因式分解法；配方法 4. $$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 5. $$b^2-4ac$$；两个不相等的 6. 两个相等的；无 7. $$-\dfrac{b}{a}$$；$$\dfrac{c}{a}$$ 8. 0 二、选择题 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.A 7.A 三、解答题 1. 解：（1）定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程；一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，$$a eq0$$保证方程为二次方程。 （2）$$\Delta>0$$，方程有两个不相等的实数根；$$\Delta=0$$，方程有两个相等的实数根；$$\Delta<0$$，方程无实数根。 （3）移项，将常数项移到右边；二次项系数化为1；方程两边加一次项系数一半的平方；配方成完全平方形式；开方求解。 （4）韦达定理：两根和$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，两根积$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$；使用前提：$$\Delta\ge0$$，方程有实数根。 2. 解：因式分解得$$(x-2)(x-3)=0$$，解得$$x_1=2，x_2=3$$。 3. 解：设月平均增长率为$$x$$，列方程$$50(1+x)^2=72$$，解得$$x_1=0.2=20\%$$，$$x_2=-2.2$$（舍去），月平均增长率为20%。 本章核心总结 1. 核心定义：一元二次方程三要素：一个未知数、最高次数2、整式方程； 2. 核心工具：判别式判根、求根公式解方程、韦达定理整体求值； 3. 常用解法：优先因式分解法，其次配方法、公式法； 4. 必考应用：增长率、降低率问题，固定模型$$a(1\pm x)^n=b$$。 Δ＝b2－4ac 知识积累 a. 一元二次方程的概念，一般形式分别是什么？如何验根？ b. 一元二次方程有哪几种解法？ 一般情况下如何选择最优解法？ c. 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，则其求根 公式是x= . 根与系数的关系是：x1+x2＝ ，x1x2＝ . d.判别一个一元二次方程是否有实根，只需确定 的 符号: 当 时，方程有两个不等的实数根; 当 时，方程有两个相等的实数根; 当 时，方程没有实数根. e.列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步 骤是： . b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 审、设、列、解、验、答 根据上述知识点，画出本章知识结构框图 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a b c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 一个未知数 最高次是2 整式方程 根 根的判别式Δ=b2-4ac Δ>0,方程有两个不等的实数根 Δ=0,方程有两个相等的实数根 Δ<0,方程无实数根 根与系数的关系 6 解法 因式分解法： 配方法： 公式法： 若A·B=0，则A=0或B=0 形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式直接开平方 一般形式的方程先配方为(mx+n)2=p(p≥0)的形式再求解 应用 列一元二次方程解实际问题的步骤: 审设列解验答 几种常见类型 传播问题 增长率问题 图形面积问题 单(双)循环问题 方案设计问题 数字问题 1. 返回 下列方程一定是一元二次方程的是(　　) A．ax2＋bx＋c＝0 B． ＋x－1＝0 C．2x2－9＝0 D．x2＝(x－1)(x－2) C 考点1　一元二次方程及相关概念 考试考法 9 返回 2. 若关于x的一元二次方程(k－3)x2－5x＋k2－9＝0的一个解为x＝0，则k＝________． －3 考试考法 返回 3. 【新考法 逆向思维法】已知方程x2－6x＋4＝□，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(x－p)2＝7的形式，则印刷不清楚的数字是(　　) A．6 B．9 C．2 D．－2 C 考点2　一元二次方程的解法 考试考法 返回 4. 如图所示的是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为(　　) C 考试考法 解下列方程： (1)(2x－1)2＝49； 返回 5. 解：直接开平方，得2x－1＝±7. ∴x1＝4，x2＝－3. (2)x2＋2x－1＝0； 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2. 考试考法 返回 考试考法 (4)3x(x－1)＝2－2x. 返回 解：移项，得3x(x－1)＋2x－2＝0. 因式分解，得(x－1)(3x＋2)＝0， ∴x－1＝0或3x＋2＝0， ∴x1＝1，x2＝ 考试考法 [北京中考]若关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．4 返回 6. C 考点3　一元二次方程根的判别式 考试考法 返回 7. [广州中考]关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0的根的情况为(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 C 考试考法 返回 8. 【新视角 条件开放题】[南通中考]已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：________________. 0(答案不唯一) 考试考法 返回 9. 【新视角 新定义题】[保定高碑店期中]若一个一元二次方程有一个实数根为1，则称该方程为“归一方程”．例如：x2－4x＋3＝0就是“归一方程”． (1)一元二次方程2x2＋x－3＝0________“归一方程”；(填“是”或“不是”) 是 考试考法 19 (2)若关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0为“归一方程”，且方程有两个相等的实数根，求a和c的值． 返回 解：∵ax2－4x＋c＝0为“归一方程”， ∴ax2－4x＋c＝0有一个实数根为1， ∴a－4＋c＝0，∴c＝4－a. ∵方程ax2－4x＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(－4)2－4ac＝(－4)2－4a(4－a)＝0，整理， 得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，∴a＝2，∴c＝4－2＝2. 考试考法 返回 10. [乐山中考]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x12x2＋x1x22的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 C 考点4　一元二次方程的根与系数的关系 考试考法 21 返回 11. 若一个菱形的两条对角线的长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　) C 考试考法 22 返回 12. 若a≠b，且a2－4a＋1＝0，b2－4b＋1＝0，则(1)a＋b的值为________； 4 1 考试考法 23 13. 毕业前夕，班主任王老师让每一名同学给班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(　　) A．40 B．30 C．29 D．39 B 返回 考点5　一元二次方程的实际应用 考试考法 14. [威海中考]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm. 返回 考试考法 15. 某超市购进甲、乙两种商品，2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2026年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； 返回 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意，得125(1－x)2＝80， 解得x＝0.2＝20%或x＝1.8(舍去)． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 考试考法 返回 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100－m)件， 由题意，得(125－25×2)m＋80(100－m)≤7 800， ∴75m＋8 000－80m≤7 800， 解得m≥40. 答：最少购进40件甲种商品． (2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 考试考法 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 谢谢观看 THANKS － ②x＝(b2－4ac≥0)　 A．＋1 B．－＋1 C．＋1或－＋1 D．无法确定 开平方，得x＋1＝±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (3)x2－x－＝0； 解：∵a＝1，b＝－，c＝－， ∴Δ＝(－)2－4×1×＝4>0， ∴x＝，即x1＝，x2＝. －. A. B．2 C． D．2 (2)＋的值为________． $