25.3 第3课时 循环与数字问题-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

第3课时 循 知识要点扫描 1.循环问题 x支球队进行比赛，每两队之间 赛一场，共赛a场 a= 单循环 x人互相握手，共握手a次 x(x-1) x人每人与其他人合照一张双人 2 照，共合照a次 x人互送礼物或互发信息、祝福 a= 双循环 等，总数为a x(x-1) 2.数字问题 (1)两个连续整数：设较小的整数为x,则 较大的整数为x+1. (2)三个连续奇数（偶数）：设中间的数为 x,则较小的数为x一2，较大的数为x十2 (3)两位数：十位数字×10十个位数字. (4)三位数：百位数字×100+十位数字× 10+个位数字. 已经典例题剖析 【例】一个两位数的两个数字之和为9，把这 个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新 的两位数，它与原两位数的积为1458.求原两 位数. 【点拨】 原两位原两位新两位新两位 原两 新两 数的个数的十数的个数的十 位数 位数 位数字位数字位数字位数字 x+10(9 10.x+ 2 9-x 9-x 一x) (9-x) 【解】设原两位数的个位数字为x,则十位 数字为(9一x). 根据题意，得[x+10(9一x)][10x+(9 x)]=1458. 整理，得(x一8)(x一1)=0，解得x1=8, x2=1. 故原两位数是81或18. 环与数字问题 已基础对点训练 知识点①循环问题 1.(2025一2026瑞金检测)某班同学毕业时，都 将自己的照片向本班其他同学送1张留念， 全班一共送了1260张.如果全班有x名同 学，根据题意，列出方程为 ) A.x(x+1)=1260B.2x(x+1)=1260 C.x(x-1)=1260D.7x(x-1)=1260 2.（2025一2026上饶弋阳期中)在一次同学聚 会时，大家相互握手问候.如果每人都只和 其他人握手1次，一共握了55次手，那么参 加这次聚会的同学共有多少人？设参加聚 会的同学有x人，根据题意，下列方程正确 的是 A.x(x-1)=55 B.x(x+1)=55 C.x(x-1)=55×2D.x(x+1)=55×2 3.某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单 循环比赛（每2支队伍之间都赛1场），单循 环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍 有 () A.8支B.10支C.7支 D.9支 变式题单循环→双循环 一次足球比赛采取双循环比赛（每2支队 伍之间都进行2场比赛).若要比赛56场， 则共有 支队伍参加比赛， 4.决赛开始前，为提升队伍士气，所有队员都 相互拥抱了1次.已知所有人共拥抱105次， 且所有队员中上场的人数为5，则替补队员 的人数为 5.为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节” 展销会活动.已知参加这次米粉展销会的每 2家公司之间都签订了1份合同，x家公司 上册第二十五章 15企 共签订了y份合同. (1)写出y与x之间的关系式. (2)若所有公司共签订了55份合同，则参加 此次展销会的公司共有多少家？ 知识点②数字问题 6.一个数乘它与12的和，积恰好等于这个数 的3倍.若设这个数为α，则可列方程为 A.a+12a=3a B.3a(a+12)=a C.a(a+12)=a+3D.a(a+12)=3a 7.如图，点阵M的层数用n表 示，点数总和用S表示.当S =66时，n的值为 ( A.10 B.11 第7题图 C.12 D.13 8.跨语文学科小明同学是一位古诗文的爱好 者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江 东去，浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东 吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位 平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数 周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是 x,则可列方程为 A.10x+(x-3)=(x-3)2 B.10(x+3)+x=x2 C.10x+(x+3)=(x+3)9 D.10(x+3)+x=(x+3)2 416 九年级数学RJ版 9.已知一个两位数，个位上的数字比十位上的 数字小4，这个两位数十位上的数字和个位 上的数字交换位置后，新两位数与原两位数 的积为1612，那么原两位数为 () A.95 B.59 C.26 D.62 10.如图所示的是2026年5月的月历，在此月 历上可以按图示形状圈出位置相邻的6个 数（如：5,12,18,19,20,21）.如果圈出的6 个数中，最大数与最小数的积为377，则这6 个数的和为 日一二三四五六 12 3456789 101112131415 16 17181920212223 24252627282930 31 第10题图 11.有一个两位数，它的个位上的数字比十位上的 数字大3，个位上的数字与十位上的数字的平 方和比这个两位数大18，求这个两位数， 12.经过激烈的角逐，“青春队”在数学知识竞 赛中最终取得胜利，已知“青春队”在本次 比赛中的总得分是一个两位数，其中十位 上的数字比个位上的数字大8，且十位上的 数字与个位上的数字的和的平方比这个两 位数大9.“青春队”的总得分是多少？8.解：(1)设该商店每月盈利的平均增长率为x,根据题 意，得2400(1十x)2=3456, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去) 故该商店每月盈利的平均增长率为20%. (2)由(1)知，该商店每月盈利的平均增长率为20%， 则5月份盈利为3456×(1+20%)=4147.2（元）. 故估计5月份这家商店的盈利将达到4147.2元。 第3课时循环与数字问题 1.C2.C3.B变式题84.10 5.解：(1)，·每家公司与其他(x一1)家公司都签订1份合 同，而甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司 签订的合同是同一份合同，∴.所有公司共签订了y= 2》份合同。 y与x之间的关系式为y=2x(x一1). (2)当y=55时，2x(x-1)=55,解得x1=11,x= -10(不合题意，舍去)，∴x=11. 故参加此次展销会的公司共有11家 6.D7.B8.C 9.D【解析】设原两位数个位上的数字为m,则十位上 的数字为(m十4)，即原两位数为10(m+4)十m=11m 十+40，新两位数为10m+m十4=11m+4.根据题意， 得(11m+40)(11m+4)=1612,解得m1=2,m2=-6 (不合题意，舍去).故原两位数为11m+40=22+40 =62. 10.143【解析】设最小数为x,则6个数依次是x,x+ 7,x+13,x十14，x+15,x+16,则这6个数的和为 6x+65. 依题意，得x(x+16)=377,解得x1=13,x2=一29 (不符合题意，舍去). 6x+65=6×13+65=143.故这6个数的和为143. 11.解：设个位上的数字为x,则十位上的数字为x一3. 根据题意，得x2十(x一3)2=10(x一3)十x+18, 解得x1=7,x2=1.5(不合题意，舍去)， ,.10(x-3)+x=47. 故这个两位数为47. 12.解：设这个数的个位上的数字为x,则十位上的数字 为x十8. 根据题意，得(x+x+8)2一[10(x+8)+x]=9, 解得x=1,=一5（不符合题意，含去这个数 的个位上的数字为1，十位上的数字为1+8=9， ,.“青春队”的总得分是91分 章末对点导练 1.D2.B 3.x1=2,x2=-34.C 5.D【解析】，直线y=x十a不经过第二象限，∴a≤0. 4 九年级数学RJ版 当a=0时，方程a.x2-3.x十1=0是一元一次方程，有 一个实数根；当a<0时，△=（一3）2一4a=9-4a>0, 则关于x的一元二次方程a.x2-3.x十1=0有两个不 相等的实数根.综上所述，方程ax2一3x十1=0的实数 根的个数为1或2. 变式题有两个不相等的实数根【解析】，·直线y= k.x十a(k≠0)不经过第二象限，ax2一3x十k=0是关 于x的一元二次方程，.k>0,a<0,.△=（一3）2 4a·k=9-4ak>0,则关于x的一元二次方程a.x2一 3x+k=0有两个不相等的实数根. 6.D【解析】由1☆x=2,得x2-x=2. 整理，得x2-x一2=0. .△=（一1）2一4×1×（一2）=9>0，.该方程有两个 不相等的实数根」 7.解：(1)根据题意，得m≠0，且△=[-(2m一3)]一 9 4m(m-1)≥0，解得m≤8且m≠0. (2),m为正整数，.m=1,.原方程变形为x2十x 0,解得x1=0,x2=-1. 8.C9.2 10.解：(1)，关于x的方程x2一2(m十1)x十m2十2=0 总有两个实数根， ,.△=[-2(m+1)]2-4(m2+2)=8m-4≥0， 解得m≥2· (2),x1,x2为方程x2-2(m十1)x十m2+2=0的两 个根， ∴.x1十x2=2(m十1)，x1x2=m2+2. (x1+1)(x2+1)=8, x1x2+(x1十x2)十1=8， .m2+2+2(m+1)+1=8. 整理，得m2十2m一3=0，即(m十3)(m一1)=0， 解得m1=一3（不合题意，舍去），m2=1, .m的值为1. 11.(1)6(2)6+42 【解析】(1)根据题意，得起始矩形的面积为abm,得 到的矩形面积为(a十1)(b-1)m2. ,a=5,得到的矩形面积不变， .(5十1)(b-1)=5b,解得b=6. (2)根据题意，得起始矩形的面积为abm2,得到的矩 形面积为(a十1)(b十2)m, “25=(a+106+2),6=§. 2s=(a+1)(ξ+2） 2S-5+2 …a+1a ∴.2a2+(2-S)a+S=0. 有且只有一个a的值， ∴.△=(2-S)2-8S=0, .S2-12S+4=0, 解得S1=6十4√J2,S2=6一4√2（不合题意，舍去）.