25.2.2 公式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，涵盖求根公式推导、根的判别式及应用。通过复习配方法解方程和雕像设计实际问题导入，衔接已学知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以数学思维为核心，通过配方法严谨推导求根公式，结合根的判别式分类讨论培养推理能力。情境导入和分层练习（如含字母系数变式题）让学生用数学眼光观察现实、用数学语言规范表达，助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

人教版九年级（上） 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.2 公式法 第25章 一元二次方程 1 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程.(难点) 2. 会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. (重点) 3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 素养目标 如何用配方法解方程 2x2 + 4x - 1 = 0 ? 配方法能解所有的一元二次方程吗？ 解：方程整理得 配方得 开平方得 解得 复习导入 引言：要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x2 = 5(5 - x )， 整理得　x2 + 5x - 25 = 0． A C B 如何解出该一元二次方程？ 情境导入 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否用配方法得出它的解呢？ 探究点一：求根公式的推导 新知探究 解：移项，得 配方，得 即 问题：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ ax2 + bx = -c 二次项系数化为1，得 探究点一：求根公式的推导 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 新知探究 因为 a≠0，所以 4a2 > 0. 式子 b2－4ac 的值有以下三种情况： (1) 当 b2－4ac ＞0 时， ＞0，由①得 方程有两个不相等的实数根 探究点一：求根公式的推导 新知探究 (2) 当 b2 - 4ac = 0 时， = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . (3) 当 b2 - 4ac＜0 时， ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 探究点一：求根公式的推导 新知探究 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 因此把 b2 − 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 探究点一：求根公式的推导 新知探究 【填一填】按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ 探究点一：求根公式的推导 新知探究 例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1， ∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0， ∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B. B 探究点一：求根公式的推导 新知探究 【练一练】1.若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( ) A. q≤4 B. q≥4 C. q＜16 D. q＞16 C 解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式， 则 Δ = b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C. 探究点一：求根公式的推导 新知探究 12 【变式题1】二次项系数含字母 若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 B (-2)2 + 4k > 0 归纳: 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 方程有两个不等的实数根 分析： 二次项系数不为 0 k≠0 k > −1 且 k≠0 探究点一：求根公式的推导 新知探究 13 【变式题2】删除限制条件“二次” 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 分析： 分类讨论 k = 0 k≠0 原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根 Δ = 4 + 4k≥0 k≥−1 A 探究点一：求根公式的推导 新知探究 总结 判断一元二次方程根的情况的方法： 将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0 Δ = b2 − 4ac > 0 Δ = b2 − 4ac = 0 Δ = b2 − 4ac < 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 探究点一：求根公式的推导 新知探究 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的结果，解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 用公式法解方程 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 例2 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：因为 a = 1，b = −4，c = −7，所以 Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：因为 a = 2，b = − ，c = 1. Δ = b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 (3) 5x2－3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 a = 5，b = －4，c = －1，所以 Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. (3) 方程化为 5x2－4x－1 = 0，此时 即 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 (4) x2 + 17 = 8x. 方程无实数根. a = 1，b = −8，c = 17，所以 Δ = b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0. 解：方程化为 x2－8x + 17 = 0，此时 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 总结 化为一般形式 解一元二次方程的步骤： 变形 确定系数 计算 根据根的情况求解 用 a，b，c 写出各项系数 b2 − 4ac 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 21 【回顾导入】 解方程 x2 + 5x - 25 = 0. 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09. 关于这两个根，只有 x1≈3.09 符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为 3.09 m. 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 公式法解方程的步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 − 4ac 的值； 4. 判断：若 Δ = b2 − 4ac≥0，则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac＜0，则方程没有实数根. 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 2. 解方程：x2 + 7x – 18 = 0. 【练一练】 解：因为 a = 1，b = 7，c = −18，所以 Δ = b2 - 4ac = 72 – 4×1×(−18 ) = 121 > 0， 方程有两个不等的实数根 即 x1 = 2， x2 = -9. 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 3. 解方程 3x2 − 5x + 1 = 0. 解：因为 a = 3，b = −5，c = 1，所以 Δ = b2－4ac = (−5)2－4×3×1= 13＞0. 方程有两个不等的实数根 即 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 4. 解方程：2x2 - x + 3 = 0. 解：因为 a = 2，b = − ，c = 3，所以 Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0， 方程有两个不等的实数根 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 5. 解方程：(x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：方程化为 3x2 - 7x + 8 = 0，此时 a = 3，b = -7，c = 8，所以 Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0， 方程没有实数根. 探究点二：公式法解一元二次方程 新知探究 公式法 用求根公式解一元二次方程的方法 一元二次方程根的判别式 Δ= b2－4ac 求根公式： 当 b2－4ac > 0 时， 方程有________的实数根； 当 b2－4ac = 0 时， 方程有________的实数根； 当 b2－4ac < 0 时， 方程_________. 两个不等 两个相等 无实数根 ( b2－4ac≥0 ) 课堂小结 1.一元二次方程3x2－2x－4＝0根的判别式的值为( 　) A. －44 B. 16 C. 52 D. 56 C 2.方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是(　B　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一个根为0 B 当堂反馈 3.若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有实 数根，则k的取值范围是 ⁠. 4. [教材变式]用公式法解下列方程： k≥－1　 (1)x2－5x－6＝0； 书写通关 解：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. ∵Δ＝ ＞0， ∴x＝ ⁠， 即x1＝ ，x2＝ ⁠. 1　 －5　 －6　 (－5)2－4×1×(－6)＝49　 　 6　 －1　 当堂反馈 (2)x2－3x＋4＝0； 解：x1＝2，x2＝. (3)2y2＋4y＝y＋2； 易错通关：先化为一般式，再确定a， b，c的值，注意其符号. 解：y1＝，y2＝－2. (4)4x(x－1)＝－3. 解：无实数根. 解：x1＝2，x2＝. b，c的值，注意其符号. 解：y1＝，y2＝－2. 解：无实数根. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $