2.2 基本不等式的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，涵盖求最值、证明不等式及实际问题解决，通过复习基本不等式引入不等式链与三元拓展，搭建从基础到复杂应用的学习支架。 其亮点是融合配凑、换元、“1”的代换等解题方法，结合广告牌设计等实际案例，以数学思维培养严谨推理，用数学语言精确表达，助力学生掌握方法，教师丰富教学资源。

第2课时 基本不等式的应用 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(重点) 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(难点) 3.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.(难点) 学习目标 利用基本不等式求复杂式子的最值问题 1 基本不等式链 ， 当且仅当时等号成立.其中为,的调和平均数，为, 的平方平 均数.（也叫均方根，指的是这两数平方的算术平均数的算术平方根） 此不等式链又常以, 的形式出现. 4 其几何意义如图2.2-2所示. 2 基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（,,均为正实数）,当且仅当 时， 等号成立.（它的常用变形： .参加强基计划的同学可重点掌握） （2）推广到元的基本不等式为（,, , 均为正实 数）,当且仅当 时，等号成立. 6 基本不等式其他应用形式： ； ； . 7 类型1 配凑法求最值 例1（1）函数 的最大值是 _ __. 【解析】方法1：.（调整 的系数，使原等式中出现 和为定值的代数式） ,， ， ,当且仅当，即 时取等号. 故当时， . 方法2：由知, ,当且仅当 ,即 时取等号. 故当时, . 8 （2）已知，则 的最大值为___. 1 【解析】方法1：（配凑法） 因为，所以 , 所以 （添常数，凑积为定值）（提负号,保证各项均为正数）, 当且仅当,即 时取等号,所以最大值为1. 方法2：（换元法） 令，则 , ，当且仅当 ，即 , 时取等号,所以最大值为1. 9 例2 函数 的最小值是___. 8 【解析】方法1： ,（分子常数化， 连续两次利用配凑法构造出了需要的代数式） , , ,当且仅当,即 时取等号. 故当时， . 方法2：（换元法） 令,则 , 则,当且仅当，即 时 取等号. 故当时， . 10 类型3 分组并项法或多次应用基本不等式求最值 例3（1）若,是正数，则 的最小值是 ___. 4 【解析】, 是正数， （之所以如此组合,是因为它们的积都是定值），当且仅当即 （之所以如此组合,是因为它们的积都是定值）时取等号. 故 的最小值为4. 11 （2）若实数,满足，则 的最小值为___. 4 【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 即或 时等号成立．（连续两次使用基本不等式要保证等号成立的一 致性） 12 类型4 “ 1”的代换与消元法 例4 已知,,且,则 的最小值为____. 16 【解析】方法1：（“1”的代换） ， . （利用“1”的代换，构造出“齐次式”，实现“一正、二定”） ,, ， 当且仅当,即 时，取等号. , 当,时， . 方法2：（消元法）, . ,,.（确定 的范围） ,且 ， 13 ， 当且仅当,即时取等号，此时 . 当,时， . 方法3：（配凑法）， , ,则,即 . 由可知, , 则 ,当且仅当 ，即，时取等号， . 例5 已知,,,则 的最小值为_________. 【解析】方法1： （的分母为二次，因此分子上的“1”需代换为 ，从而化简得到齐次式）,当 且仅当，即, 时取等号， 所以最小值为 . 方法2： , （只代换 上的1，构造齐次式后，再进行1的代换） 15 所以 ,当且仅当 ，即,时取等号，所以最小值为 . 类型5 求同时含有与 类型的问题 例6 (2026·陕西省榆林市期中)若正数,满足,则 的最小值是 ( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】方法1：（消元法） 由条件得 ， （很容易想到的思路是消去一个变量，不妨一试） 由,知,（确定 的范围） 从而 17 （转化配凑成分子不含变量的形式）,当且仅当,,即, 时取等号.故 的最小值为5. （方法1在消元后，将分子常数化，运用配凑法求最值，运算复杂，此时也可采用换 元法，减少计算量） 方法2：同方法1可得 ， 令，则 ， 则 ，当且仅 当，即 时取等号， 所以当，时， 的最小值为5. 方法3：（常数代换法） 对原条件式转化得 （变形确定常数）, 则 （巧妙借助了“1”的代换）,当且仅当,,即, 时取等号. 故 的最小值为5. （方法3思路清晰，过程简单易上手，对思维有较高要求，适合变形后等式一边为常 数的情况） 利用基本不等式证明不等式 类型1 证明不等式 例7 设,,均为正数，且 . 证明： （1） ; 【解析】由,, 得 （当且仅当 时等号成立）. 由题设得 ， 即 ， 所以，即 . 21 （2） . 【解析】因为,, , 所以,即 ，当且仅当 时等号成立.（对于此类问题，往往通过拆式、配式，两两应用基本不等式， 然后运用叠加或叠乘的方法证得） 故 . 22 类型2 解恒成立问题 例8 设,，不等式恒成立，则 的最小值为____. 【解析】方法1：（分离参数法） 由题意知，不等式 恒成立，（对于恒成 立求参问题，若条件允许，常采用分离参数法求解） 则必须大于或等于 的最大值. 而 （对于含根号的式子,一般进行平 方处理）,当且仅当 时取等号. 故的最大值为 ， 故，即的最小值是 . 23 方法2：（利用平方平均数和算术平均数求解） 因为,所以 , 当且仅当 时等号成立. 因为,所以,所以 , 即的最小值是 . 基本不等式在实际问题中的应用 三 例9 ［数学建模·广告牌设计］如图2.2-4，要设计一张矩形广告牌， 该广告牌含有大图2.2-4小相等的左、右两个矩形栏目（图中阴影部 分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为 ，两 栏之间空白的宽度为 ．怎样设计广告牌的高与宽的尺寸 （单位： ），能使矩形广告牌面积最小？ 解决本题的关键有三点：一是善于迁移，即在读懂题目的前提下， 正确建模转化；二是引入合适的变量，建立正确的广告牌面积表达式；三是能正确 地运用基本不等式求最值. 26 【解析】设每个矩形栏目的高为，宽为，广告牌的面积为 ,则 ，其中, . 易知广告牌的高为，宽为 . （弄清栏目的宽、高与广告牌的宽、高之间的关系是求解关键） 广告牌的面积 ， 当且仅当时等号成立，此时，代入得, . 即当,时， 取得最小值，为24 500. 故当广告牌的高为，宽为 时，可使矩形广告牌的面积最小. 27 图2.2-2 例10［新考法·数学建模］ (2026·四川省内江市第一中学月考)动物园 要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各 面用钢筋网围成，如图2.2-2所示． （1）现有长 的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽分别为多少 时，可使每间虎笼的面积最大？ 【答案】设每间虎笼的长、宽分别为,,每间虎笼的面积为 ， 则，即 ， ，当且仅当,即， 时，等 号成立. 故当每间虎笼的长、宽分别为， 时，每间虎笼的面积最大. 28 （2）若使每间虎笼的面积为 ，则每间虎笼的长、宽分别为多少时，可使围成 四间虎笼的钢筋网总长度最小？ 【答案】由题意，设每间虎笼的长、宽分别为， , 则钢筋网总长，当且仅当，即 时， 等号成立，此时每间虎笼的长、宽分别为, . 29 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 利用基本不等式解决实际问题的步骤 反 思 感 悟 1.知识清单： (1)巧用“1”的代换求最值问题. (2)分离消元法求最值. (3)利用基本不等式证明不等式. (4)基本不等式在实际问题中的应用. 2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 课堂小结 随堂演练 题型一 利用基本不等式求最值 1.（2025陕西西安期末）已知正数,满足,则 的最小值为( ) D A.2 B. C. D. 【解析】 为定值，所以为定值，积定求和 的最小值，直接应用基本不等式即 可.因为正数，满足，所以，当且仅当 时，等号 成立，所以的最小值为 . 33 2.（2025重庆期末联考）已知,都是正实数,若,则 的最大值为_ _. 【解析】 满足和为定值，可直接利用基本不等式求解. ，可得，当且仅当，即, 时，取等号，所 以的最大值为 . 因为，当且仅当，即 , 时，取等号，所以的最大值为 . 34 3.已知正实数,满足,则 的最大值是____. 【解析】 ,即,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为 . （平方升幂） ,当 且仅当时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 . 由柯西不等式得 ,当且仅当 时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 . 35 题型二 多次利用基本不等式求最值（多次使用基本不等式时未能保证每次 等号成立的条件一致致错） 4.（2026黑龙江齐齐哈尔一模）若,，则 的最小值为( ) C A.2 B. C.4 D. 【解析】 （连续两次使用基本不等 式，注意取等条件应同时成立）， 当且仅当即,时取等号，即 的最小值为4. 36 5.（2026山东临沂普通高中学科素养水平监测）已知,,均为正数，且 ， 则 的最小值为( ) B A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】 因为，所以 （将三个变量问题转化为两个变量问 题）， 则 （两次利用基本不等式）， 当且仅当，时取等号，此时解得，则 的最小值为8. 37 6.已知,则 的最小值为___. 8 【解析】 由得,则 (第一次用基 本不等式:由消去),当且仅当，即 时,等号成立. （第二次用基本不等式:求最值）,当且仅当，即 时, 等号成立. 因此,当时（ 连续用基本不等式时注意同时取等号）, 取 得最小值8. 38 题型三 配凑定值 题组一 积定求和最值 7. （2025湖南湘潭期末）已知,则 的最小值为( ) C A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】不为定值，但可配凑出定值 ，由基本不 等式求解即可. 由题意得（一正），则（凑项） （二定）， 当且仅当（三相等），即时，等号成立.故 的最小值为3. 39 8.（2026河北承德期末）已知，则 的最小值为( ) D A.4 B.5 C.6 D.7 40 【解析】 型，将分子拆项，向分母配凑.因为，所以， ， 所以 （分离变量 得积为定值） ， 当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为7. 型，对分母换元利于配凑. 令，则，因为，所以 ， 可得 ， 当且仅当，即，即时，等号成立，所以 的最小值为7. 41 题组二 和定求积最值 9.（2026陕西咸阳期中）已知，则 的最大值为( ) C A.1 B. C. D. 【解析】 不是定值，但是可以配凑成 ，符合 和为定值积有最大值的要求. 因为，所以，可得 （凑系数）， 即 ， 当且仅当，即 时，等号成立. 所以的最大值为 . 42 10.（2025甘肃省兰州第一中学期中）已知,,且,则 的 最大值为____. 25 43 【解析】要求 的最大值，需将条件变形为 ，即和为定值的形式，再利用基本不等式求解. 配凑法.由，得 （和定），则 ， 当且仅当，即,时，取等号，所以 的最大值为25. 消元法.因为,所以 ，则 ，由,，可得，则结合二次函数图象可知当 时， 取到最大值25，即 的最大值为25. 44 题型四 “1”的代换 题组一 乘“1”型 11.（2025江西吉安检测）已知,,,则 的最小值为( ) A A.32 B.24 C.16 D.8 【解析】 初始定值条件化为1后，利用“1”的代换求出最值. ,,由，得 ，则 ， 当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为32. 45 12.（2026北京朝阳区月考）已知，则 的最小值是( ) A A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】 没有给出“1”的条件，但观察所求式分母，发现隐含 . 由，得 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值是4. 也可直接利用权方和不等式求解.,当且仅当,即 时 取等号，所以 的最小值是4. 46 13.（2026广东广州期末）已知实数，满足，则 的最小值为 ( ) B A.15 B.16 C.17 D.18 【解析】 条件未直接给出“1”，但等式两边同除以 之后得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求最值. 因为实数，满足，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即, 时，等号成立. 所以 的最小值为16. 47 14.（2026浙江温州期末）已知正实数，满足，则 的最小值为____. 21 【解析】 将所求式中配凑出 后，再进行“1”的代换，构造积为定值，再 利用基本不等式求解即可. 因为正实数，满足 ， 所以 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 即，可得 ， 所以 的最小值为21. 48 题组二 分子代换“1”,构造齐次式 15.（2025江苏盐城期中）已知,,,则 的最小值为( ) D A.2 B.4 C.1 D.3 【解析】 待求式中 不是齐次式，考虑用“1”的代换进行齐次化. 因为,,，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以 的最小值为3. 49 16.设,,,则 的最小值为___________. 【解析】 ,分子中含常数2,无法利用基本不等式求最 值,因此考虑利用“1”的代换对分子进行变形构造齐次式. ,,,又, ,当且仅当 即 时等号成立, 的最小值为 . 50 题型五 利用基本不等式证明不等式 17.（2026湖北襄阳市致远中学月考）已知,, 都是正数，求证: . 【答案】 因为,, 都是正数，则有: ，当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立, ，当且仅当 时，等号成立, 所以，当且仅当 时，等号 成立. 51 18.（2026海南海口检测） （1） 已知,,均为正实数，求证: ； 【答案】 因为,, 均为正实数， 所以（当且仅当 时等号成立）， （当且仅当 时等号成立）， （当且仅当 时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当 时等号 成立）（多次使用基本不等式时注意等号必须同时成立）， 所以（当且仅当 时等号成 立），即（当且仅当 时等号成立）. . . . . 52 （2） 已知,,，求证: . 【答案】 因为 , 所以 （通过“1”的代换转化为关 于 的式子）， 因为，，由得 ， 当且仅当 时等号成立, 所以 . . . 53 题型六 利用基本不等式解决恒（能）成立问题 19.（2025江苏泰州检测）大招15 若对于任意,恒成立,则 的取值范围 为( ) B A. B. C. D. 【解析】 因为不等式对任意恒成立,所以 . 因为,所以,当且仅当,即 时等号成立,所以 . 54 20.（2026河北邯郸月考）已知,,，若存在实数 ，使 成立，则 的最小值为( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题意可知， （变量分离是解决不等式恒（能）成 立问题的常用方法与技巧）有解，即 ， 因为，所以 ， 那么 ， 当且仅当，即, 时等号成立， 故，则的最小值为 . 55 题型七 基本不等式的实际应用 21.（2025辽宁锦州期末）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准,需要加入某种 药剂,加入药剂后,药剂的浓度（单位:）随时间（单位: ）的变化关系可近似地 用函数 刻画.由此可以判断,要使被处理的污水中该药剂的浓度达 到最大值,需经过( ) C A. B. C. D. 【解析】 依题意，，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故由此可判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达 到最大值，需经过 . 56 22.（2026山东德州期末）设矩形的周长为12，把沿向 折叠，折过去后交于点，则 面积的最大值为( ) C A. B. C. D. 57 【解析】 如图，易证,所以 ，设 ， ， ， ， 在中， ， 即，整理得 ， ， 当且仅当，即 时等号成立， 所以面积的最大值为 . 58 $