2.2 基本不等式（第二课时 基本不等式在实际问题中的应用）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦基本不等式在实际问题中的应用，通过梳理审题、建模、求解、验证、作答五步解题流程搭建学习支架，衔接前期基本不等式变形知识，引导学生从理论过渡到围栏、造价等实际场景的最值求解。 资料以分层跟踪训练（基础到拓展）和真实情境典例为特色，帮助学生用数学眼光观察生活问题，通过建模将实际问题转化为函数最值，提升数学建模与运算素养，规范解题流程，培养理性思维与应用意识。

2.2基本不等式 第二课时基本不等式在实际问题中的应用 【学习目标】 ①熟练掌握基本不等式及其变形的应用； ②会用基本不等式解决生活中简单的最大（小）值问题，培养数学建模素养； ③通过基本不等式求最值，提升数学运算素养； 【学习重点】 ①掌握利用基本不等式解决实际最值问题的五步解题流程； ②能针对围栏、造价、容积、利润等场景建立函数模型，结合一正二定三相等求解并验证等号条件. 【学习难点】 准确结合实际几何、经济题意列函数关系式. 一、核心知识梳理（必背必会） 利用基本不等式解决实际问题的步骤： （1）审题：认真审题，弄清题意，设出变量； （2）建模：依题意建立函数模型，一般将实际问题抽象为函数的最大值、最小值问题； （3）求解：寻求定值（“定和”或“定积”），利用基本不等式求最值 （4）验证：验证取等号的条件是否成立； （5）作答：给出正确答案. 二、典例精析 题型1 简单的和定、积定问题 例1．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ 易错警示： 题型2 费用最低（用料最少）问题 例2．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2) 长为多少可使总造价最低，并求出最低造价. 反思领悟： 题型3 方案设计问题 例3．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      方法总结： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 2．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 3．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 4．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 6．“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 7．如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左、右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为5cm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为10cm，设海报纸的长和宽分别为，．    (1)求关于的函数表达式； (2)为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？并求出最少用纸量. 8．为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. (1)求关于的函数； (2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【能力提升】（多数必做） 9．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 10．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 11．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 12．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式 第二课时基本不等式在实际问题中的应用 【学习目标】 ①熟练掌握基本不等式及其变形的应用； ②会用基本不等式解决生活中简单的最大（小）值问题，培养数学建模素养； ③通过基本不等式求最值，提升数学运算素养； 【学习重点】 ①掌握利用基本不等式解决实际最值问题的五步解题流程； ②能针对围栏、造价、容积、利润等场景建立函数模型，结合一正二定三相等求解并验证等号条件. 【学习难点】 准确结合实际几何、经济题意列函数关系式. 一、核心知识梳理（必背必会） 利用基本不等式解决实际问题的步骤： （1）审题：认真审题，弄清题意，设出变量； （2）建模：依题意建立函数模型，一般将实际问题抽象为函数的最大值、最小值问题； （3）求解：寻求定值（“定和”或“定积”），利用基本不等式求最值 （4）验证：验证取等号的条件是否成立； （5）作答：给出正确答案. 二、典例精析 题型1 简单的和定、积定问题 例1．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ 思路分析： （1）属于积定和最小问题，直接利用求解； （2）属于和定积最大问题，直接利用求解. 规范解答： （1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 易错警示：看清哪条边靠墙！本题长平行于墙，篱笆是；若宽靠墙，则篱笆表达式变为，式子完全改变，审题先画清篱笆组成. 题型2 费用最低（用料最少）问题 例2．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2) 长为多少可使总造价最低，并求出最低造价. 思路分析： (1) 利用十字面积等式变形，把y写成x的表达式；结合求出x范围。 (2) 分别写出三部分造价：中心正方形花坛、四块阴影矩形地砖、四个等腰直角三角形草坪，构建总造价函数，再使用基本不等式求最小值。 规范解答： （1）因为十字形区域面积为，所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. （2）四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 反思领悟：利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他变量，在解题过程中尽量向模型靠拢. 题型3 方案设计问题 例3．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      思路分析：先建立造价函数，利用基本不等式求出理论最优解，再借助对勾函数单调性在有效定义域端点求得最低造价对应的长宽 规范解答：设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 方法总结：方案设计本质是利用基本不等式解决实际问题，按其一般步骤“审题→建模→求解→验证→作答”即可，关键在于通过理解题意，合理设出变量. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 答案：C 解析：设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 2．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（       ） A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3 答案：B 解析：设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即， ∴， 即， 解得， ∴． ∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立． ∴车厢容积的最大值为．选B． 3．要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 答案：B 解析：设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 4．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 答案：B 解析：设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 5．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 答案：8000 解析：设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 6．“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 答案：60 解析：生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 7．如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左、右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为5cm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为10cm，设海报纸的长和宽分别为，．    (1)求关于的函数表达式； (2)为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少？并求出最少用纸量. 解析：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ，整理得； （2）由（1）知，即， ，由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或， ，当且仅当，即时等号成立， 海报长80cm，宽40cm时，用纸量最少，最少用纸量为. 8．为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. (1)求关于的函数； (2)若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 解析：（1）由题意可知，， 所以，所以， 又，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以. （2）法一：由，得， 解得（或，舍去）， 所以，当且仅当，时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 【能力提升】（多数必做） 9．小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 答案： 解析：设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 10．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 答案： 10 8 解析：设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 11．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 答案： 解析：设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 12．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 解析：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即， 所以的取值范围是. 【拓展拔高】（学有余力选做） 略 四、课时小结 (1) 核心概念：基本不等式积定和最小、和定积最大的最值规律；实际问题中的最值建模； (2) 工具：代数式配凑、“1” 的代换、消元变形；数学建模、转化与化归思想； (3) 解题核心：运用基本不等式必须完整验证三大条件，主动构造和或积为定值；留意实际问题中变量取值范围，规范完成建模、求解、检验全过程. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $