21.2.2 第3课时 二次函数y=a（x+h）2+k的图象和性质1（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

第3课时　二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质

1．会用描点法画出y＝a(x＋h)2＋k的图象；

2．掌握形如y＝a(x＋h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)

3．理解二次函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2之间的联系．(难点)

 

一、情境导入

前面我们是如何研究二次函数y＝ax2、y＝ax2＋k、y＝a(x＋h)2的图象与性质的？如何画出y＝(x－2)2＋1的图象？

 

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与性质

【类型一】 抛物线y＝a(x＋h)2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性

对于抛物线y＝3(x－3)2＋6，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝3；③顶点坐标为(3，6)；④x>0时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数为(　　)

A．1               B．2              C．3                  D．4

解析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可．①∵a＝3>0，∴抛物线的开口向上，正确；②对称轴为直线x＝3，正确；③顶点坐标为(3，6)，正确；④∵x>3时，y随x的增大而增大，即x>0时，图象的增减性不同．故选C.

方法总结：对于抛物线y＝a(x＋h)2＋k，其对称轴为x＝－h，顶点坐标为(－h，k)．当a>0时，对称轴左边的图象，y随x的增大而减小，对称轴右边的图象，y随x的增大而增大，当a<0时，反之．

 

【类型二】 利用顶点确定y＝a(x＋h)2＋k的解析式

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为__________________．

解析：由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)2＋3，把x＝－1，y＝5代入得5＝a(－1＋2)2＋3，所以a＝2，所以抛物线的表达式为y＝2(x＋2)2＋3.

 

【类型三】 利用y＝a(x＋h)2＋k的图象解决问题

如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为(　　)

A．－3            B．1            C．5                   D．8

解析：C、D两点是抛物线与x轴的交点，当C的横坐标取得最小值时，抛物线的顶点在A处，把C(－3，0)，A(1，4)代入解析式，可得0＝a(－3－1)2＋4，求得a＝－，当抛物线的顶点在B处时，D的横坐标取得最大值，其解析式y＝－(x－4)2＋4，易得最大值为8.故选D.

 

探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的平移

将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是(　　)

A．y＝(x－2)2－1             B．y＝(x－2)2＋1

C．y＝(x＋2)2＋1             D．y＝(x＋2)2－1

解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝(x－2)2－1.故选A.

 

探究点三：二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象与几何图形的综合

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.

(1)求h，k的值；

(2)判断△ACD的形状，并说明理由．

解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；

(2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD是直角三角形．