21.2.2 第2课时 二次函数y=a（x+h）2的图象和性质1（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

第2课时　二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质

1．会用描点法画出y＝a(x＋h)2的图象；

2．掌握形如y＝a(x＋h)2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点)

3．理解二次函数y＝a(x＋h)2与y＝ax2之间的联系．(难点)

 

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？

 

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质

【类型一】 y＝a(x＋h)2的顶点坐标

已知抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．

解：∵抛物线y＝a(x＋h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴a(－4＋2)2＝2.∴a＝.

方法总结：二次函数y＝a(x＋h)2的顶点坐标为(－h，0)．

 

【类型二】 二次函数y＝a(x＋h)2图象的形状

顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y＝－x2的图象相同的抛物线的解析式为(　　)

A．y＝(x－2)2    B．y＝(x＋2)2        C．y＝－(x＋2)2     D．y＝－(x－2)2

解析：因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a(x＋h)2(a≠0)，

而二次函数y＝a(x＋h)2(a≠0)与y＝－x2的图象相同，所以a＝－.而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h＝2.把a＝－，h＝2代入y＝a(x＋h)2得y＝－(x＋2)2.故选C.

方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．

 

【类型三】 二次函数y＝a(x＋h)2的增减性及最值

对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是(　　)

A．y随x的增大而增大

B．当x＞0时，y随x的增大而增大

C．当x＝－1时，y有最小值0

D．当x＞1时，y随x的增大而增大

解析：因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝－1，顶点坐标为(1，0)，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.

 

探究点二：二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移

【类型一】 利用平移确定y＝a(x＋h)2的解析式

抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．

解析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．

解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a＝，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．

 

【类型二】 确定y＝a(x＋h)2与y＝ax2的关系

向左或向右平移函数y＝－x2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．

解：能，理由如下：设平移后的函数为y＝－(x＋h)2，

将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－(－9＋h)2，所以h＝5或h＝13，

所以平移后的函数为y＝－(x＋5)2或y＝－(x＋13)2.

即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．

 

【类型三】 二次函数y＝a(x＋h)2图象的平移与几何图形的综合