21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质1（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

21．2　二次函数的图象和性质

1．二次函数y＝ax2的图象和性质

1．正确理解抛物线的有关概念；(重点)

2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点)

3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点)

4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它是如何画出来的？

我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数y＝ax2的图象

【类型一】 画二次函数y＝ax2的图象

在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.根据图象回答下列问题：

(1)这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

(2)图象有最高点或最低点吗？如果有，最高点或最低点的坐标是什么？

解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围是全体实数，故应以原点O为中心，对称地选取x的值，列出函数的对应值表．

解：列表：

　　描点、连线，函数图象如图所示．

(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是y轴；

(2)函数y＝2x2和y＝x2的图象有最低点，函数y＝－x2和y＝－2x2的图象有最高点，这些最低点和最高点的坐标都是(0，0)．

方法总结：(1)画形如y＝ax2(a≠0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对称地选取．

(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折线．

(3)抛物线的概念：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是抛物线，简称为抛物线y＝ax2.

(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点．抛物线的顶点也是它的最低点或最高点．

 

【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断

当ab>0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)

解析：根据a、b的符号来确定．当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>0，∴

b>0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限．当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>0，∴b<0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.

方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．

 

探究点二：抛物线y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系

如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为(　　)

A．a>b>c>d

B．a>b>d>c

C．b>a>c>d

D．b>a>d>c

答案：A

方法总结：抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．

 

探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用

已知二次函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：

(1)a，b的值；

(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；

(3)△AMB的面积．

解析：直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．

解：(1)∵点A(1，b)是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，

∴∴

(2)由(1)知二次函数为y＝－x2，顶点M(即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，∴y1＝－1，y2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(－3，－9)；

(3)如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝×(1＋9)×4－×1×1－×3×9＝6.