21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质(2)（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质运用，涵盖k的几何意义及与一次函数的综合。课堂导入通过回顾双曲线图象和k对性质的影响，搭建旧知与新知的学习支架，引导学生逐步深入探究。 其亮点在于以合作探究推动k的几何意义学习，通过取点计算面积、猜想证明培养推理能力，综合题分类讨论k的正负提升抽象与模型意识。练习设计层次分明，助力学生用数学语言表达函数关系，既帮助学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源。

第3课时 反比例函数的图象和性质(2) 第21章 二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 九年级上册数学（沪科版） 问题1 反比例函数的图象是什么？ 问题2 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 导入新课 2 反比例函数的图象和性质的运用 1 (1) 如果这个函数图象经过点 (-3，5)，求 k 的值； 例1 已知反比例函数 解：(1) 因为函数图象经过点 (-3，5)，代入函数的表达式，得 . 解得 k = -7. 新知探究 (2) 根据题意，有 2k - 1＞0. 解得 k＞ (2) 如果当 x > 0 或 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的范围. 例1 已知反比例函数 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 【练一练】1. 如图是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数图象位于第一、三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5＞0，所以在这个函数图象的每一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1＞x2 时， y1＜y2. 反比例函数解析式中 k 的几何意义 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格： 【合作探究】 2 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2)，Q (4，1) S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系 P (－1，4)， Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 的图象 上也用同样的方法取 P，Q 两 点，并分别向两坐标轴引垂线， 围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格： 4 4 S1 = S2 S1 = S2 = -k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = | k |. y x O P S 我们就 k＜0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b). A B ∵ 点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab = k. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k. 若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0. 若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0. ∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k. B P A 综上可知， S矩形 AOBP = |k|. 自己尝试证明 k ＞ 0的情况. k＞0 的情况请同学们自行证明！ 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = . 推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = . 对于反比例函数 (k ≠ 0)， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 Q A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( ) A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB 2. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点 y x O A B C C 【练一练】 3. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . -12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 4. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2. 例2 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上 【典例精析】 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 5.如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点， 【练一练】 解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3 F S1 S2 S3 P是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 ＜ S3 反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 【合作探究】 ① x y O x y O ② 3 k2 < 0 b < 0 k1 < 0 k2 < 0 b > 0 ③ x y O k1 > 0 ④ x y O 例3 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 k＞0 由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 6. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B a＞0， a＜0，矛盾 a＞0 a＞0，成立 不满足与 y 轴交点为（0，1） a＜0， a＞0，矛盾 练一练 例4 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 . 所以 ， . 解得 ， . P 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 想一想： 例5 正比例函数 y = kx 与反比例函数 的图象都经过点 A(m，2). (1) 求 k，m 的值； 解 (1) 将点 A 的坐标 (m，2) 代人反比例函数，得 解方程，得 m = 3. 将点 A 的坐标 (3，2) 代人正比例函数，得 2 = 3k. 解方程，得 (2) 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y = kx 和反比例函数 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围. 如图，由图象可知，这两个函数的图象有两个交点，交点坐标分别是 (3，2) 和 (-3，-2). 所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为 x > 3 或 -3< x < 0. 你能用代数的方法得到这两 个函数图象的交点坐标吗？ 由 (1) 得，正比例函数解析式为 联立 解得 或 x = 3， y = 2， x = -3， y = -2. 交点坐标分别是 (3，2) 和 (-3，-2). 例6 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了. 7.如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围 是 ． －1 2 y x O A B x < －1 或 0 < x < 2 练一练 1. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( ) O x y A O x y B O x y C O x y D B 课后练习 2. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内， 则 m 的取值范围是________. m ＞ 2 3. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. y D B A C x 3 2 5 4. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________． 1＜x＜5 O B A x y 1 5 表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围 5. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解：由题意得 ， y = －x + 2， 所以 A (－2，4)，B (4，－2). 解得 或 x = 4， y =－2， x = －2， y = 4. 作 AC⊥x 轴于C，BD⊥x 轴于 D， 则 AC = 4，BD = 2. (2) 求△AOB 的面积. 解：∵一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM = 2. O A y B x M C D ∴S△OMB = OM·BD÷2 = 2×2÷2 = 2. ∴S△OMA = OM·AC÷2 = 2×4÷2 = 4. ∴S△AOB = S△OMB + S△OMA = 2 + 4 = 6. 面积问题 →面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数的图象和性质的综合运用 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $