第21章 二次函数与反比例函数（复习课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理二次函数与反比例函数的概念、图像性质、解析式求法及综合应用，通过知识图谱将两者定义、图像特征、k/a的几何意义等核心内容分层串联，构建“概念-性质-应用”的逻辑网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的递进模式，如二次函数最值问题通过分类讨论对称轴与区间关系培养推理能力，反比例函数k的几何意义结合面积计算强化几何直观，分层题目设计让不同学生提升，助力教师高效复习。

第21章 二次函数与反比例函数 复习课件 沪科版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 掌握二次函数的定义、三种表达式、图象与性质、平移规律、最值与实际应用；掌握反比例函数的定义、图象、性质、k 的几何意义及实际应用； 02 工具掌握 能熟练求函数解析式、分析图象、解决综合计算与实际问题。运用数形结合、建模思想解决函数问题 深化理解 通过知识梳理、例题讲解、错题辨析、限时训练，形成知识体系； 思想与应用 感受函数在生活中的应用，提升数学应用意识； 培养严谨解题习惯，增强综合解题能力。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.二次函数与方程、不等式、动点综合问题； 2.反比例函数面积计算、与一次函数综合； 3.数形结合、分类讨论思想的运用。 1.二次函数：表达式、图象性质、平移、最值； 2.反比例函数：图象性质、k 的几何意义； 3.函数解析式求法、基础应用。 4 知识图谱 二次函数 二次函数定义 二次函数的图象和性质 实际问题与二次函数 二次函数的应用 二次函数表达式的求法 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a（x-h）2+k 二次函数的图像与性质 二次函数的图像与系数关系 二次函数的图像画法 二次函数的图像平移 二次函数的最值 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴 5 知识图谱 反比例函数 定 义 图 象 性 质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应 用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 形如（ k 为常数，k ≠ 0 ） 三种表达式 xy＝k y＝kx－1 (k ≠ 0) k＞0，双曲线落在一、三象限 k＜0，双曲线落在一、三象限 6 考点串讲 ——1： 二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）二次函数的概念 （2）二次函数的解析式 名称 解析式 特点 相互联系 一般式 顶点式 交点式   1）三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法. y=ax²+bx+c (a≠0) 其中a≠0 且a，h，k是常数 y=a(x+h) ²+k y=a（x-x1）（ x-x2） (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标 （x1,0）, （x2,0）时，常用交点式求其表达式. 7 考点串讲 ——2：二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数 顶点 坐标 1.直接运用顶点坐标公式(________，________)求解； 2.运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h，k)； 3.将对称轴x=x0代入函数表达式求得对应y0 增减性 a＞0时，在对称轴左侧，y随x的增大而_______；在对称轴右侧，y随x的增大而________　　　　 a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而________；在对称轴右侧，y随x的增大而_______　 最值 a＞0时，y有最_____值 当x=－时，y的最小值为_______　　　 a＜0时，y有最______值 当x=－ 时，y的最大值为_________　　　 －　 　 减小 增大　 增大　 减小 小 　 大　 （3）二次函数的图像与性质 8 考点串讲 ——3： 二次函数图象的平移 1. 从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移(关 键点是研究顶点坐标)，平移过程中a不变，因此可先求出其顶点坐标，根 据顶点坐标的平移求解即可 2. 从解析式上考虑：二次函数图象平移规律如下表： 平移前的解析式 平移方式(n＞0) 平移后解析式 简记 y=a(x－h)2＋k (a≠0)  向左平移n个单位 y=a(x－h ＋n )2＋k  x 左“＋”右“－” 向右平移n个单位  y=a(x－h －n )2＋k 向上平移n个单位  y=a(x－h)2＋k ＋n 右边整体 上“＋”下“－” 向下平移n个单位 y=a(x－h)2＋k －n 9 考点串讲 ——4： 二次函数与一元二次方程 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 （1）二次函数与一元二次方程表达式关系 10 考点串讲 ——4： 二次函数与一元二次方程 二次函数与方程的关系 方程ax2＋bx＋c=0的解是二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的 交点的横坐标值 b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有两个交点⇔方程有两个不相等的实数根 b2－4ac=0⇔抛物线与x轴有一个交点⇔方程有两个相等的实数根 b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴无交点⇔方程无解 11 考点串讲 ——5： 实际问题与二次函数 实际问题 二次函数 实际问题 的答案 利用二次函数的图象与性质求解 抽象 检验 目标 建立适当的直角坐标系 根据条件确定已知点坐标 待定系数法求抛物线解析式 二次函数表示实际问题变量之间的关系 12 考点串讲 ——5：反比例函数的概念 一般地，形如y= (为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数 自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 由于反比例函数y= (k≠0)中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 13 考点串讲 ——6： 反比例函数的图象与性质 定义：形如y=(k为常数，且k≠0)的函数，其中横纵坐标的乘积为常数，即xy=k k的取值范围 k＞0 k＜0 图象 (草图) 图象特征 图象无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 所在象限 第一、三象限(x，y同号) 第二、四象限(x，y异号) 增减性 在每一象限内，y随x的增大而减小 在每一象限内，y随x的增大而增大 对称性 关于直线y=x，y=－x对称，且关于原点O中心对称 14 考点串讲 ——7： 反比例函数中k的几何意义 1.k的几何意义：如图，设P(a，b)是反比例函数y=图象上任 意一点，过点P 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y 轴于点N，则S矩形PNOM=PM∙PN=|b|∙|a|=|ab|=|k| 2.计算与反比例函数y=(k≠0)图象上的点有关的图形面积： S△APP′=　　　 S△ABP=|k|　 S△OBP=|k|　 S△AOP=　　 |k|　 2|k| 15 题型全解 题型01 二次函数的定义 例关于x的二次函数 求a的值 【解析】 解：根据题意，得 a+1≠0 a2-a=2 解得 a=2 所以a的值为2 16 题型全解 题型01二次函数的定义 方法总结 方法 ①易错警示：切勿漏掉“二次项系数不为0”这一关键限制条件，否则容易误选 。 ②核心思想：运用“定义法”解题，结合“分类讨论与检验”的数学思想，确保答案准确。 题型全解 题型02 二次函数的解析式的确定 例 已知抛物线y＝ax2－4x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－ ，且经过点A(－1，5)，求抛物线的解析式； 【解析】解：∵抛物线y＝ax2－4x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－ ， ∴－ ＝－ ＝－ ，解得a＝－4. ∵该抛物线过点A(－1，5)， ∴将A(－1，5)代入y＝－4x2－4x＋c中，得－4＋4＋c＝5， 解得c＝5， ∴该抛物线的解析式为y＝－4x2－4x＋5 18 题型全解 题型02 二次函数的解析式的确定 方法总结 方法 求二次函数解析式的核心是待定系数法。 解析式形式的选择取决于已知条件：一般式适用于任意三点； 顶点式适用于已知顶点/对称轴/最值；交点式适用于已知与x轴的两个交点。 题型全解 题型03 二次函数的图像与性质 例 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　) A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2 【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2. y x 题型全解 题型03 二次函数的图像与性质 方法总结 方法 ①配方法是解决二次函数顶点、对称轴、最值问题的核心工具，需熟练掌握其步骤； ②数形结合思想：遇到“增减性变化”的描述，应立刻联想到抛物线的对称轴，将函数的代数性质与图像几何特征结合，是快速解题的关键。 题型全解 题型04 二次函数与各项系数之间的关系 例 点P是抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点。下列结论正确的是（ ） A. b² - 4ac < 0 B. abc > 0 C. 对任意实数m，am² + bm + c ≥ 3 D. 若(-1,y₁)、(5,y₂)在抛物线上，则y1=y₂ D 【解析】A：图象与x轴两交点 ⇒ Δ > 0 (错)。B：a负、b正、c正 ⇒ abc < 0 (错)。 C：开口向下，有最大值3 ⇒ 应为 ≤ 3 (错)。D：两点到对称轴距离相等 ⇒ y₁=y₂ (对)。 题型全解 题型03 二次函数与各项系数之间的关系 方法总结 方法 ①掌握“数形结合”思想，图象特征转代数关系. ②开口定a，对称轴结合a定b，y轴交点定c，x轴交点数定Δ，函数值比较看对称轴距离. 题型全解 题型05 二次函数与方程 例 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　） A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7 C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7 【解析】∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3， ∴ =3，解得 m = －6. ∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0， 即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D． D 题型全解 题型05 二次函数与方程 方法总结 方法1 “先求参，再代入，最后解方程”。这类题目常常把二次函数解析式中的未知系数作为一元二次方程中的已知系数，两者通过对称轴或顶点坐标等条件联系起来。 方法2 在第一步求对称轴时，注意负号不要漏掉（即- ）；在第二步移项化成标准方程时，注意移项要变号。 题型全解 题型06 二次函数的最值问题 例 已知抛物线y=－x2＋2x＋3，当m≤x≤m＋2 时，函数值y的最大值为3，求m的值. 【解析】解：∵抛物线开口向下，对称轴直线x=1，∴当x=1时，有最大值，最大值为4.∵m≤x≤m＋2时，抛物线有最大值为3， ∴x的取值范围一定在抛物线对称轴的左边或右边，①当m≥1时，抛物线在x=m处取得最大值，即－m2＋2m＋3=3，解得m=0(舍去)或m=2； ②当m＋2≤1时，即m≤－1，抛物线在x=m＋2处取得最大值， 即－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3=3，解得m=0(舍去)或m=－2， 综上所述，m的值为2或－2. 题型全解 二次函数的最值问题 方法总结 方法1 ①画图象，找轴点：先确定抛物线的开口方向、对称轴，并求出顶点坐标（即整个定义域上的最值）。 ②比大小，定位置：比较“题目给出的区间最大值”与“全局顶点最大值”的关系，判断区间是包含了对称轴，还是在对称轴的一侧。 方法2 ①分情况，列方程：根据区间与对称轴的位置关系（通常分三种：区间在轴左、区间在轴右、区间包含轴），利用函数的单调性确定在哪个端点取得最值，并代入函数解析式列方程。 ②验结果，写结论：解出参数（如 m）的值后，务必检查解是否满足相应的分类前提条件（如 m≥1等），不符合的舍去，最终合并所有符合条件的结果。 题型全解 题型07 二次函数实际应用 例一种商品每件售价为10元，一周可卖出50件，市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，已知该商品进价每件为8元，问每件商品涨价多少元，才能使每周得到的利润最多？ 【解析】解：设每件商品售价为x元，根据题意，得y=(x－8)[50－5(x－10)]=－5x2＋140x－800， ∴y与x之间的函数关系式为y=－5x2＋140x－800=－5(x－14)2＋180，∵－5＜0， ∴当x=14时，y有最大值，最大值为180，此时x－10=4. 答：每件商品涨价4元时，使每周得到的利润最多. 题型全解 题型07 二次函数实际应用 方法总结 方法1 ①注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量； ②根据题意找函数关系“总利润=(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 方法2 ①涉及求最值时通过配方法将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减 性求得最大值； ②若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后 在确定销售单价时注意找准基础量. 题型全解 题型08二次函数综合 【解析】由题意得，对称轴是直线x＝－ ＝1 例已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0. (1)求该抛物线的对称轴； 题型全解 题型08二次函数综合 【解析】解：∵a＜0，∴抛物线开口向下，由(1)知，该抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点B关于对称轴对称的点坐标为(－1，q). ∵p＞q，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴d的取值范围是－1＜d＜3 已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0. (2)当a＜0时，已知点A(d，p)，B(3，q)在抛物线上，且p＞q，求d的 取值范围； 题型全解 题型08二次函数综合 【解析】解：由题意得，y＝ax2－2ax＋4＝a(x2－2x)＋4， ∵无论a取何非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个定 点，∴令x2－2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4. 又∵x1＜x2，∴x1＝0，x2＝2，∴x1＋2x2＝0＋2×2＝4 已知抛物线y＝ax2－2ax＋4，其中a≠0. (3)若无论a取何非零实数，该抛物线都经过C(x1，y1)，D(x2，y2)两个定点，其中x1＜x2，求x1＋2x2的值； 题型全解 题型03 …… 方法总结 方法1 ①不要被参数 a、b 吓倒，直接代入求对称轴公式 x=-​。很多情况下，参数会在计算中抵消，从而得出“定轴”（如本题的 x=1）。 ②熟练掌握二次函数的“对称性”与“增减性”的相结合 方法2 ①分离参数法:将原式展开并重新整理，写成 y = a × (关于x的式子) + (不含a的常数项) 的形式。令 a 的系数为 0，解出对应的 x 值。将求出的 x 代回方程，求对应的 y 值，即可得到定点坐标。 ②含参函数过定点，提出参数要优先；令其系数等于零，解出 x 值代回算。 题型全解 题型09 反比例函数的图像与性质 【解析】∵在反比例函数y＝－ 中，k＝－3＜0，∴此函数图象的两个 分支分别位于第二、四象限.∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝ － 的图象上，x2＜0＜x1，∴点A(x1，y1)在第四象限，点B(x2，y2)在第 二象限，∴y1＜0，y2＞0，即y1＜0＜y2. 例已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝－ 的图象上，若x2＜0＜x1，则一定成立的是(　B　) A. 0＜y2＜y B. y1＜0＜y2 C. y2＜y1＜0 D. y2＜0＜y1 B 题型全解 题型03 …… 方法总结 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小． 题型全解 题型09 反比例系数k的几何意义 【解析】如图，过点P作PC⊥x轴于点C，设BP交x轴于点D， 则PC＝AO＝BO. ∵∠CDP＝∠ODB，∠PCD＝∠BOD， ∴△PCD≌△BOD，∴S△PCO＝S△BOD. ∵S△PAB＝18，∴S矩形AOCP＝S△PAB＝18，∴｜k｜＝18. ∵反比例函数的图象在第三象限，∴k＝18. 例已知反比例函数y＝ (k≠0).如图，P是该函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为 ⁠. 18　 ∟ C 解图 题型全解 题型08二次函数综合 方法总结 方法1 ①反比例函数 y= 上的任意一点P(x,y)，作两坐标轴的垂线，形成的矩形面积必为 ∣k∣。在求参数 k 时，将“求 k”转化为“求矩形的面积”是最直接的突破口 ②割补法（如本题，通过添加辅助线割出全等三角形进行替换）。同底等高/同高底等面积转化。利用对称性（如本题的轴对称构造全等）。 方法2 ①在求出 ∣k∣ 的值之后，千万不要直接写答案。一定要回头看一眼题目中的图象所在的象限（或题目给出的 k 的正负条件）。 ②一三象限 k 为正，二四象限 k 为负。 漏掉这一步是很多同学失分的常见原因。 题型全解 题型9反比例函数与一次函数综合 【解析】（1）解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该解析式 ，得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ，得到 例如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一 个交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x P 2 题型全解 题型09 反比例函数与一次函数综合 (2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2，0) 的直线 l：y = kx + b 交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 【解析】解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k . 解得 x1 = -3，x2 = 1.∴ B (-3，-k)，A (1，3k) ∵ △ABO 的面积为 y = kx + 2k ∴ ∴ ×2×3k + ×2k = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为y = x + ． O y x M l N A (1，3k) B (-3，-k) 题型全解 题型09 反比例函数与一次函数综合 【解析】当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 题型全解 题型09 反比例函数与一次函数综合 方法总结 方法1 ①求函数解析式的“代入消元法”如果已知一点坐标，或者在其它函数图象上，务必先利用已知解析式求出该点坐标，再代入目标函数即可求出未知参数。 ②遇到坐标系内由交点构成的三角形求面积，千万不要直接使用底×高÷2（因底和高通常不与坐标轴平行，极难计算）。 通用技巧：连线找坐标轴上的截距。 方法2 ①解不等式问题一律“数形结合”口诀：“上大下小，分点断，零断”。 ②反比例函数的图象有两支，写解集时，一定要把 x=0 作为分隔点分段写，并且只能用“或”连接，不能用“且”（如本题的 x<−3 或 0<x<1）。 针对训练 1. 抛物线y＝－2(x＋1)2＋2的顶点坐标是(　B　) A. (1，2) B. (－1，2) C. (－1，－2) D. (1，－2) 2. 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象一定经过(　A　) A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 B A 针对训练 3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则 (　C　) A. abc＜0 B. 2a＋b＜0 C. 2b－c＜0 D. a－b＋c＜0 C 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝ax2－a的图象可能是(　B　) B 针对训练 5. 已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经 过点A(－4，n)和B(2，n)，则这个二次函数图象的对称轴为直线 ⁠. 6. 已知抛物线y＝x2－2x＋3.将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为 ⁠ ⁠. x＝－1 y＝x2＋4x＋8 针对训练 7.已知抛物线y=－x2－4x＋5. (1)若抛物线经过(1，y1)和(3，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或“=”)； (2)若抛物线经过(－6，y1)和(－1，y2)两点，则y1 y2(填“＞”“＜”或 “=”)； (3)若抛物线经过(－4，y1)，(－3，y2)和(2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小 关系为 (用“＜”连接). ＞ ＜ y3＜y1＜y2. 针对训练 8. 定义：把函数C1：y＝ax2－6ax＋5a(a≠0)的图象绕点P(m，0)旋转 180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2图 象的对称轴为直线x＝h.例如：当m＝1时，函数y＝(x＋1)2＋5关于点 P(1，0)的相关函数为y＝－(x－3)2－5. (1)求h的值(用含m的代数式表示)； 解：(1)y＝ax2－6ax＋5a，令y＝0， 则ax2－6ax＋5a＝0，解得x1＝1，x2＝5， ∴函数图象的对称轴为直线x＝ ＝3， 由中点公式得h＋3＝2m，∴h＝2m－3； 针对训练 (2)若a＝1，m＝1，当t－1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为 y2，且y1－y2＝3，求t的值. 解：(2)∵a＝1， ∴C1：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，顶点为(3，－4)， 当m＝1时，C2的顶点为(－1，4)，∴C2：y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x ＋3， ①当t≤－1时，y随x的增大而增大， y1－y2＝－t2－2t＋3－[－(t－1)2－2(t－1)＋3]＝3， 解得t＝－2； 针对训练 ②当t－1＜－1＜t时，即－1＜t＜0时，分两种情况讨论， (ⅰ)当－1－(t－1)≥t－(－1)时，即－1＜t≤－ 时， y1－y2＝4－[－(t－1)2－2(t－1)＋3]＝3， 解得t＝± (舍去)； (ⅱ)当－1－(t－1)＜t－(－1)时，即－ ＜t＜0时， y1－y2＝4－(－t2－2t＋3)＝t2＋2t＋1＝3， 解得t＝－1± (舍去)； 针对训练 ③当t－1≥－1时，即t≥0时，y随x的增大而减小， y1－y2＝[－(t－1)2－2(t－1)＋3]－(－t2－2t＋3)＝3， 解得t＝1. 综上所述，t＝－2或t＝1. 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1.二次函数 开口方向：a>0 开口向上；a<0 开口向下∣a∣ 越大开口越小。对称轴：直线 x=-（图像左右对称）。最值位置：全域最值在顶点；给定区间的最值需根据对称轴位置分类讨论。 函数增减性：在对称轴两侧单调性相反。 2.反比例函数 象限分布：k>0在一、三象限；k<0 在二、四象限。图像特征：双曲线，无限趋近于坐标轴但永远不相交（x≠0,y≠0）。 增减性：在同一个象限内，k>0 时 y随 x 增大而减小；k<0 时 y 随 x 增大而增大。 ·核心概念 二次函数比大小：开口向上，离对称轴越近，函数值越小；开口向下，离对称轴越近，函数值越大。 反比例函数 k的几何意义：图象上任意一点向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积为 ∣k∣；构成的三角形面积为 ∣k∣​。（面积求 k 的万能钥匙） ·答题注意事项 1.反比例函数描述增减性时，必须写“在每一个象限内”，否则满分扣光。 2.类讨论求参数  时，算出的值必须代回前提条件检验 3.一次函数与反比例函数比大小，图象交点的横坐标将区间分段。答案必须分段写，且中间必须用“或”连接 50 沪科版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $