21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x+h)²的图象和性质，通过篮球投篮轨迹等生活实例导入，先复习y=ax²+c的图象特征及上下平移规律，再引出y=a(x+h)²与y=ax²的关系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于运用描点法画图和表格对比，培养学生几何直观，通过引例观察归纳性质，发展推理意识，以“左加右减”规律总结平移关系，强化模型意识。典例精析结合函数值比较、取值范围求解等实例，采用探究式教学，课堂小结系统梳理知识。学生能直观理解知识形成过程，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第21章 二次函数与反比例函数 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 第2课时 二次函数 y = a(x + h)² 的图象和性质 九年级上册数学（沪科版） 导入新课 问题1 说说二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的图象特征. a,c的符号 a＞0,c＞0 a＞0,c＜0 a＜0,c＞0 a＜0,c＜0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y 轴（直线 x = 0） y 轴（直线 x = 0） （0，c） （0，c） 当 x＜0 时，y 随 x 增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大 当 x＜0 时，y 随 x 增大而增大；当 x＞0 时，y 随 x增大而减小 x = 0 时，y最小值 = c x = 0 时，y最大值 = c 问题2 二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 与 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象有何关系？ 答：二次函数 y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的图象可以由 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象平移得到： 当 c＞0 时，向上平移 c 个单位长度得到； 当 c＜0 时，向下平移 -c 个单位长度得到. 问题3 函数 的图象，是否也可以由函数 的图象平移得到？ 二次函数 y = a(x + h)2 的图象和性质 1 引例：在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数 y = x2，y = (x - 1)2 和 y = (x + 1)2 的图象？ x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· ··· y = (x - 1)2 ··· ··· y = (x + 1)2 ··· ··· 9 16 4 4 1 0 1 4 9 9 4 1 0 1 4 1 0 1 4 9 16 新知探究 描点、连线，画出这两个函数的图象： y=(x-1)2 y = x2 y = (x + 1)2 根据图象回答下列问题: (1) 图象的形状都是 ； (2) 图形的开口方向 ； (3) 从左到右对称轴分别是都 是 ； (4) 从左到右顶点坐标分别是 ____________________； 抛物线 向上 x = -1，x = 0，x = 1 (1，0) (0，0)， y=(x-1)2 y = x2 y=(x+1)2 (-1，0)， (5) 顶点都是最____点，函数都 有最____值，都为_______； (6) 函数 y = (x - 1)2 的增减性 ： __________________________ __________________________. 低 小 y = 0 当 x＜1 时，y 随 x 增大而减小， 当 x＞1 时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 (a＞0) 的性质是什么？ y=(x-1)2 y = x2 y=(x+1)2 试一试：画出下列二次函数的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· -2 -4.5 -2 0 0 -2 -2 -4.5 -8 -8 -2 2 -2 -4 -6 4 -4 O x y 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x = -1 ( -1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) -2 2 -2 -4 4 -4 O x y 二次函数 y = a(x + h)2 (a ≠ 0) 的性质 y=a(x+h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 归纳总结 向上 向下 直线 x = -h 直线 x = -h （-h，0） （-h，0） 当 x = -h 时，y最小值 =0 当 x = -h 时，y最大值=0 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而减小；x＞-h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜-h 时，y 随 x 的增大而增大；x＞-h 时，y 随 x 的增大而减小 (1) 完成下表； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … (2) 在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象. 例1 已知二次函数 y＝ (x﹣1)2． -1 0 1 2 3 2 0 2 解：描点，画出该二次函数图象如右： -1 2 2 4 1 -2 O x y 3 典例精析 (3) 写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (4) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 解：对称轴为直线 x = 1. 顶点坐标为 (1，0). 解：当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. O -1 2 2 4 4 -2 x y 3 1 (5) 若 3≤x≤5，求 y 的取值范围； 想一想：若 −1≤x≤5，y 的取值范围是什么？ 解：∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x = 3 时，y = 2；当 x = 5 时，y = 8， ∵当 −1≤x≤5 时，y 的最小值为 0， ∴当−1≤x≤5时，y 的取值范围是 0≤y≤8. 注意：限定了自变量的取值范围求函数值的范围时，应结合图象根据增减性在自变量取值范围内取最值 ∴当 3≤x≤5 时，y 的取值范围是 2≤y≤8. O -1 2 2 4 4 x y 3 1 (6) 若抛物线上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2＜1，试比较 y1 与 y2 的大小． 解：∵ m＞1，∴ 1＜m＜m + 1. 变式：若点 A(m，y1)，B(m + 1，y2) 在抛物线的图象上，且 m＞1，试比较 y1，y2 的大小，并说明理由． 解：∵ 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x1＜x2＜1 时，y1＞y2. ∵ 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴ y1＜y2. O -1 2 2 4 4 x y 【练一练】1.若抛物线 y＝3(x＋ )2 的图象上的三个点，A (-3 ，y1)，B (-1，y2)，C (0，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系为___________． 解析：∵ 抛物线 y＝3(x＋ )2 的对称轴为 x＝- ，a＝3＞0，∴ x＜- 时，y 随 x 的增大而减小；x＞- 时，y 随 x 的增大而增大．∵ 点 A 的坐标为(-3 ，y1)， ∴ 点 A 在抛物线上关于 x＝- 的对称点 A′ 的坐标为( ，y1)．∵ - ＜-1＜0＜ ，∴ y2＜y3＜y1． y2＜y3＜y1 向左平移 1个单位 二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 的图象关系 2 想一想 抛物线 y = (x - 1)2 和 y = (x + 1)2与抛物线y = x2 有什么关系？ y=(x-1)2 y = x2 y=(x+1)2 向右平移 1个单位 y = (x - 1)2 y = x2 y = (x + 1)2 向右平移 1个单位 向左平移 1个单位 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O -2 2 -2 -4 4 -4 二次函数 y = a(x + h)2 与 y = ax2 的图象之间的关系 形状、开口大小和方向均相同，可以看作互相平移得到. 左右平移规律： 仅对自变量 (x) 左加右减，其它不变. y = a(x + h)2 向右平移 h 个单位 y = a(x - h)2 向左平移 h 个单位 设 h＞0，将 y = ax2 知识要点 例2 抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位后经过点 (-1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：抛物线 y＝ax2 向右平移 3 个单位得 y＝a(x - 3)2， 代入点 (-1，4)，得 4＝a(-1 - 3)2，a＝ ， ∴ 平移后函数关系式为 y＝ (x - 3)2. 方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移 3 个单位后，a 不变，x 应“减去 3”；若向左平移 3 个单位，x 应“加上 3”，即“左加右减”. 2. 将二次函数 y＝-2x2 的图象平移后，可得到二次函数 y＝-2(x＋1)2 的图象，平移的方法是 (　　) A．向上平移 1 个单位　　B．向下平移 1 个单位 C．向左平移 1 个单位　　D．向右平移 1 个单位 C 练一练 1. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后的抛物线表达式是 . 2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线 ，顶点是 . 3. 若 (- ，y1)，(- ，y2)，( ，y3) 为抛物线 y = (x - 2)2 上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系为__________. y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2 y1＞y2＞y3 课后练习 22 4. 指出下列函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 (3，0) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2，0) (1，0) 23 5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x - 2)2 的图象，并指出两个图象之间的平移关系． 解：图象如图. 函数 y = 2(x - 2)2 的图象可由函数 y = 2x2 的图象向右平移 2 个单位得到. y O x y = 2x2 2 y = 2(x - 2)2 设 h＞0， 左移 h 个单位↔加 h； 右移 h 个单位↔减 h. 复习 y = ax2 + k 探索 y = a(x±h)2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 对称轴 平移关系 直线 x = ± h a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 y = ax2 平移规律： 仅对自变量 (x) 左加右减，其它不变. 顶点坐标 (± h，0) 课堂小结 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $