2.4 第1课时 行程(或动点)问题及平均变化率问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心内容为行程（动点）问题及平均变化率问题。课堂导入通过复习梯子下滑旧知，提出“顶端下滑距离与底端滑动距离何时相等”的新问题，搭建从已有方程模型到复杂实际问题的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以多个探究实例（如梯子问题变式、海军基地行程相遇、矩形动点面积）和分层训练，培养学生数学眼光（抽象实际问题为方程）、数学思维（推理运算与结果检验）、数学语言（用模型表达数量关系）。课堂小结归纳“审设列解检答”步骤及应用类型，帮助学生形成系统方法，提升解决实际问题能力，教师可借助此资料优化教学流程，增强教学实效。

2.4 应用一元二次方程 第1课时 行程(动点)问题及平均变化率问题 第二章 一元二次方程 北师版 九年级（上） 1. 掌握列一元二次方程解决行程(动点)、几何、变化率等问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.（重点、难点） 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．（难点） 素养目标 解得 x1 = ， x2 = . (x + 6)2 + 72 = 102. （舍） 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 10 m 8 m 1 m x m 复习导入 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 10 m 8 m x m x m (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得 (8 - x)2 + (6 + x)2 = 102 解得 x1 = 0 ， x2 = 2. （舍） 答：梯子顶端下滑 2 m. x2 - 2x = 0 新知探究 (2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端到地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (12 - x)2 + (5 + x)2 = 132， 解得 x1 = 0 (舍)，x2 = 7. 13 m 12 m x m x m x2 - 7x = 0 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 新知探究 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点. 一艘军舰 沿 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一 艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 东 北 A B C D F E 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 新知探究 小岛 D 与小岛 F 相距多少海里？ 解：连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB， ∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，DF = 100 n mile. 东 北 A B C D F 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到 0.1 n mile)？ E 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 新知探究 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile. 东 北 A B C D F E 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 解这个方程得 ， (不合题意，舍去). 整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0， 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 新知探究 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为 64 cm2？ A B C D Q P (6 - t) 2t 【针对训练】 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 新知探究 解：设所需时间为 t s，根据题意，得 2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 . 答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2. A B C D Q P (6 - t) 2t 探究点1：利用一元二次方程解决行程(动点)问题 新知探究 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1 - x) 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1 - x)(1 - x) 5000(1 - x)2 5000(1 - x) 5000(1 - x)2 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 ×100％ 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 新知探究 例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 新知探究 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？ 解：设平均增长率为 x. 根据题意，得 答：平均增长率为 50％. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 新知探究 想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？ 若平均增长(或下降)百分率为 x，增长(或下降)前的是 a，增长(或下降)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n = b (其中增长取“+”，下降取“-”). 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 新知探究 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得 6000(1 − y)2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，取 y≈0.225， 即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％. 探究点2：平均变化率问题与一元二次方程 新知探究 利用一元二 次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 行程问题 平均变化率 问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 1. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一 个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶 2500个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量 的月平均增长率为x，则可列方程为(　A　) A. 1000(1＋x)2＝2500 B. 1000(1－x)2＝2500 C. (1－x)2＋1000＝2500 D. x2＋1000＝2500 A 当堂反馈 2. 某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋 250元，现在每袋90元，则平均每次下降的百分率 是 ⁠. 40％　 当堂反馈 3. 某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过 优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原 料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同， 均为x，可列出方程为 ⁠ ⁠. 15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2 ＝60　 当堂反馈 4. 随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额 从前年的200万元增长到今年的392万元.求该购物网 站平均每年销售额增长的百分率. 解：设 ⁠ ⁠， 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. 该购物网站平均每年销售额增长的百分率 为x　 200(1＋x)2＝392　 x1＝0.4，x2＝－2.4　 书写通关 当堂反馈 (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠ ⁠. －2.4　 该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 40％　 书写通关 当堂反馈 5. 如图，在△ABC中，AC＝50m，BC＝40m， ∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s 的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3m/s 的速度沿着CB边向点B匀速移动，几秒时， △PCQ的面积等于450m2？ 当堂反馈 解：设xs时，△PCQ的面积等于450m2， 由题意可得AP＝ m，PC＝ ⁠ m，CQ＝ m， 所以可得方程 ⁠. 解得 ⁠. 当x＝ 不合题意，舍 去. 答： s时，△PCQ的面积等于450m2. 2x　 (50－ 2x)　 3x　 (50－2x)·3x＝450　 x1＝10，x2＝15　 15时，CQ＝45m＞40m，　 10　 书写通关 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $