3.4 第2课时 相似三角形的周长和面积之比（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及相似多边形的相关性质，通过复习相似三角形对应高、中线等比的性质，提出周长和面积比的问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，从特殊相似比实例到一般证明，培养数学思维。结合平移重叠面积计算等例题，提升应用意识，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可直接利用其完整的“探究-证明-应用”结构实施教学，提高效率。

第2课时 相似三角形的周长和面积之比 第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质 北师版 九年级（上） 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 素养目标 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 复习导入 3 问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______， (1)与(2)的周长比=______， (1)与(2)的面积比=______； 1 : 2 1 : 2 1 : 3 1 : 3 探究点1：相似三角形周长比与面积比 (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______， (1)与(3)的面积比=______. A B C A' B' C' A'' B'' C'' 1 : 4 1 : 9 新知探究 4 如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 猜想1：相似三角形的周长比等于 ． 相似比 猜想2：相似三角形的面积比等于 ． 相似比的平方 【尝试·思考】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 新知探究 【证一证】如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 解：如图，由已知，得 ， C A B D C′ A′ B′ D′ 分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 CD 和 C′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. 探究点1：相似三角形周长比与面积比 新知探究 6 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 【归纳总结】 相似三角形周长的比等于相似比. A B C A1 B1 C1 探究点1：相似三角形周长比与面积比 新知探究 例1 如图，在△ABC 中，EF∥BC， ， S四边形BCFE = 8，求 S△ABC. 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∵S四边形BCFE = 8， ∴S△AEF = 1. ∴S△ABC = 9. A B C E F 探究点1：相似三角形周长比与面积比 新知探究 1. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1 : 9， 周长的比为______ . 1 : 3 2 : 3 4 : 9 【练一练】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 新知探究 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 如图，四边形A1B1C1D1 ∽ 四边形 A2B2C2D2，相似比为 k. A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 【思考·交流】 【做一做】 新知探究 (1) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的周长比是多少？ (2) 连接相应的对角线 A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1 与△A2B2C2 相似吗？△A1C1D1 与 △A2C2D2 呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 (2)相似，相似比为 k. A1 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 新知探究 (3) = ， = . (4) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的面积比是多少？ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方. k2 k2 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 新知探究 例2 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分 (图中阴影部分) 的面积是△ABC 的面积的一半. 已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离. 　 解：根据题意，可知 EG∥AB. ∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A. ∴△GEC ∽ △ABC. 即△ABC 平移的距离为 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 新知探究 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　 B C A D E ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25. 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 新知探究 3. 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC . ∵相似比为 1 : 2，∴面积比为 1 : 4. ∴ 【练一练】 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 新知探究 A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1. S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2. ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 新知探究 相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课堂小结 1. 已知两个相似三角形的相似比为 2∶3，较小三角 形的面积为 2，则较大三角形的面积为(　C　) A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 9 C 2. 如图，△ABC∽△DEF，AB＝3， DE＝2. 若△DEF的周长为 8， 则△ABC的周长为(　C　) A. 6 B. C. 12 D. 18 C 当堂反馈 3. 已知△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'的面积为 6，周 长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积为(　D　) A. 1.5cm2 B. 3cm2 C. 12cm2 D. 24cm2 D 4. 如果两个相似三角形的面积之比是 9∶25，其中 小三角形一边上的中线长是 12 cm，那么大三角形对 应边上的中线长是 cm. 20　 当堂反馈 5. 如图，△ADE∽△ACB，且 ＝ .若四边形 BCED的面积是 2，则△ADE的面积是 . 　 当堂反馈 6. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD与AE相交于点F. (1)求△BEF与△DAF的周长之比； 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠EBF＝∠ADF. 又∵∠BFE＝∠DFA， ∴△BEF∽△DAF. ∵BE＝CE， 即 ＝ . ∴BE＝ BC＝ AD. ∴△BEF与△DAF的周长之比为 . 当堂反馈 (2)若S△BEF＝6 cm2，求 S△DAF 的值. 解：(2)由(1)可知△BEF∽△DAF， 且相似比为 ， ∴ ＝()2＝. ∵S△BEF＝6cm2， ∴S△DAF＝4×6＝24(cm2). 6. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD与AE相交于点F. 当堂反馈 7. 如图，在△ABC 中，BC＞AC，点 D 在 BC 上，且DC＝AC，∠ACB的平分线 CF 交 AD 于点 F，点 E 是AB的中点，连接EF. 若四边形BDFE的面积为 6，求△ABD的面积. 当堂反馈 解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC， ∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点. ∵点E是AB的中点， ∴EF∥BD， ＝. ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ADB. ∴△AEF∽△ABD. ∴ ＝()2＝()2＝. ∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6， ∴ ＝. ∴S△ABD＝8. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $