3.4.1 相似三角形中的对应线段之比 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.4.1相似三角形中的对应线段之比 2026年8月2日 3.4.1 相似三角形中的对应线段之比 同步练习题 3.4.1 相似三角形中的对应线段之比 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 核心定理（必考） 相似三角形的一切对应线段的比等于相似比。 对应线段包含：对应高、对应中线、对应角平分线、对应边。 2. 三大经典结论 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为$$k$$（$$k=\dfrac{AB}{A'B'}$$）： ① 对应高的比：$$\dfrac{h}{h'}=k$$ ② 对应中线的比：$$\dfrac{m}{m'}=k$$ ③ 对应角平分线的比：$$\dfrac{t}{t'}=k$$ 3. 定理核心解读 只要三角形相似，无需单独计算，所有对应线段的比值统一等于相似比，不存在比值不同的情况。是相似三角形计算、填空、选择题高频考点。 4. 解题通用思路 先找/求两三角形相似比 → 直接得出对应高、中线、角平分线的比 → 代入数值求解边长、线段长度。 5. 易错区分 对应线段比 = 相似比；后续所学面积比 = 相似比的平方，本节只涉及线段之比，无需平方。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于（） A. 1:1 B. 相似比 C. 相似比的平方 D. 无法确定 2. 已知两个相似三角形的相似比为2:3，则对应角平分线的比为（） A. 2:3 B. 3:2 C. 4:9 D. 9:4 3. △ABC∽△DEF，相似比为1:4，若△ABC的中线长为3，则△DEF对应中线长为（） A. 3 B. 4 C. 12 D. 48 4. 下列线段比不等于相似比的是（） A. 对应边长之比 B. 对应高之比 C. 对应内角之比 D. 对应中线之比 5. 两个相似三角形对应高的比为5:2，则它们的相似比为（） A. 5:2 B. 2:5 C. 25:4 D. 4:25 6. 若相似三角形对应角平分线相等，则两个三角形（） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 只是相似 D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于________。 2. 两三角形相似比为3:5，则对应边上的高之比为________。 3. △ABC∽△A'B'C'，对应中线比为4:7，则相似比为________。 4. 相似三角形对应线段之比不等于相似比的平方，面积比是相似比的________。 5. 若两个相似三角形对应角平分线的比为1:1，则两三角形________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础计算： 已知△ABC∽△DEF，相似比为3:2。 （1）求两三角形对应高的比； （2）若△ABC对应高为6，求△DEF的对应高。 2. （14分）中线题型计算： 两个相似三角形对应中线长分别为8cm和12cm， （1）求两个三角形的相似比； （2）若小三角形的边长为6cm，求大三角形的对应边长。 3. （14分）角平分线综合计算： 已知△ABC∽△A'B'C'，对应角平分线的比为2:5，若△A'B'C'的角平分线长为10，求△ABC对应角平分线的长度。 4. （16分）综合应用： 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC，相似比为2:3， 已知△ADE中BC边上的对应高为4，求△ABC中BC边上的高。 四、拓展应用题（附加10分） 已知两个相似三角形，一对对应高的差为6，且对应高的比为3:5，求这两条对应高的长度。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.A 二、填空题 1. 相似比 2. $$3:5$$ 3. $$4:7$$ 4. 平方 5. 全等 三、解答题 1. 解： （1）∵ 相似三角形对应高的比等于相似比 ∴ 对应高的比为$$3:2$$ （2）设△DEF的高为$$x$$$$\dfrac{6}{x}=\dfrac{3}{2}$$，解得$$x=4$$ 答：对应高的比为3:2，△DEF对应高为4。 2. 解： （1）相似三角形中线比等于相似比 相似比$$=8:12=2:3$$ （2）设大三角形对应边长为$$x$$$$\dfrac{6}{x}=\dfrac{2}{3}$$，解得$$x=9$$ 答：相似比为2:3，大三角形对应边长为9cm。 3. 解： 相似比 = 对应角平分线比 =$$2:5$$ 设△ABC角平分线长为$$x$$$$\dfrac{x}{10}=\dfrac{2}{5}$$，解得$$x=4$$ 答：△ABC对应角平分线长为4。 4. 解： ∵ △ADE∽△ABC，相似比$$2:3$$ ∴ 对应高之比为$$2:3$$ 设△ABC的高为$$h$$$$\dfrac{4}{h}=\dfrac{2}{3}$$，解得$$h=6$$ 答：△ABC中BC边上的高为6。 拓展题答案 解： 设两条对应高分别为$$3x、5x$$ 由题意得：$$5x-3x=6$$$$2x=6$$，解得$$x=3$$$$3x=9，5x=15$$ 答：两条对应高分别为9和15。 章节易错点总结 1. 最核心易错点：对应线段（高、中线、角平分线）比 = 相似比，不是平方，切勿和面积比混淆； 2. 看清相似比顺序，相似比是“前比后”，线段比顺序必须保持一致； 3. 对应角相等，但角度之比为1:1，不随相似比变化，角度与相似比无关； 4. 对应线段相等 ⇒ 相似比为1:1 ⇒ 两三角形全等，可直接判定全等。 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 高 角平分线 中线 如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 解：∵△ABC ∽△A′B′C′， 又 ∠ADC =∠A'D'C' = 90°. ∴△ACD ∽△A'C'D'. ∵ CD = 1.5 cm， ∴C'D' = 3 cm. ∴∠A =∠A'， 知识点1 相似三角形对应高的性质 1.已知两个相似三角形的相似比为 ，则它们的对应高的比为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 5 2. 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔 在屏幕 （竖直放置）上成像，设，，小孔 到 的距离为，则小孔到的距离为____ 。 20 （第2题） 返回 举一反三 6 【思考·交流】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 (1) 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 3，那么这两个三角形的两条中线 AD，A'D' 有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流. A B C D A' B' C' D' 解：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∵ AD，A'D' 是△ABC 与△A'B'C' 的两条中线， ∴△ACD∽△A'C'D'. ∴∠B =∠B'， A B C D A' B' C' D' ∴BC = 2BD，B'C' = 2B'D'. 探究点：相似三角形中的对应线段之比 (2) 如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由. A B C A' B' C' 探究点：相似三角形中的对应线段之比 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B' . 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. A B C D A' B' C' D' 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A'D' 分别为对应边 BC，B′C′上的高， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 证明：∵△ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ． 又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴BC = 2BD，B'C' = 2B'D'. ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C D A' B' D' C' 已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC． 又∵AD、AD′分别为对应角的角平方线， ∴∠ABE =∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. A B C E A' B' C' E' 已知 △ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应角的角平分线， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 相似三角形对应边上的高的比、对应角的角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比． 【归纳总结】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 如图，过点 C 作 CD⊥PQ，垂足为点 D.设 CD 交 AB 的延长线于点 E， 例1 如图，AB∥PQ，AB = 100，PQ = 120. 点 P，A，C 在一条直线上，点 Q，B，C 也在一条直线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 40，求点 C 到直线 PQ 的距离. A B C D E P Q 解 因为AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 因此 CE⊥AB，DE = 40. 探究点：相似三角形中的对应线段之比 又 AB = 100，PQ = 120，DE = 40， 因此 CD = 240. 即点 C 到直线 PQ 的距离是 240 . A B C D E P Q 由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得， 于是 探究点：相似三角形中的对应线段之比 知识点2 相似三角形对应角平分线的性质 3.若两个相似三角形的对应边之比为 ，则这两个相似三角形的对应 角平分线之比为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 16 4.已知，,分别是 的高线和角平分线， ,分别是的高线和角平分线，若, , ,则 的长为_ _。 返回 举一反三 17 1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 【练一练】 2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______. 2 : 3 如图，已知 △ABC∽△A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上. (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'， 则 等于多少？ 【操作·思考】 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B′， ∠BAC =∠B′A′C′. ∴△ABD∽△A′B′D′. ∵∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴∠BAD =∠B′A′D′. (2) 若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 等于多少？ (3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流. 易证 △ABE ∽ △A′B′E′. 若将 (2)、(3) 中的 换成 、 或 (n ≠ 0)，结论还成立吗？ (1) 中的线段 AD 与 A'D'、(2) 中的线段 AE 与 AE' 有什么共同的特点？ 例2 如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E. 当 SR = BC 时，求 DE 的长. 如果 SR = BC 呢？ S R E D C B A 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，∴ SR // BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似) S R E D C B A ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比). 即 . ∴当 SR = BC 时，得 . 解得 . ∴当 SR = BC 时，得 . 解得 . 相似三角形对应角的 n 等分线的比，对应边的 n 等分线的比都等于相似比. 知识点3 相似三角形对应中线的性质 5.已知，且相似比为。若的中线 ，则 的中线 ___。 6 返回 举一反三 25 6.如图，在中，，分别是,的中点，的中线 交 于点，则 的值为_____。 （第6题） 返回 举一反三 26 7.如图，在中，点，分别在，上，平分交 于 点。若，，，，则与 的比为_____。 （第7题） 返回 举一反三 27 8.如图，,分别为,的中点，是上的一点，且 。 若，，，则 的长为___。 （第8题） 返回 举一反三 28 9.有一块三角形的余料 ，要把它加工成矩形的零件，已知 ，高，矩形的边在边上，, 分别 在,上，交于点 。 举一反三 29 （1）求证： ； 证明： 四边形 是矩形， , 。 。 , , , 。 （2）当_ __时，四边形 是正方形。 返回 举一反三 30 相似三角形的性质 相似三角形对应边上高的比等于相似比 相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 课堂小结 谢谢观看 THANKS $