3.4 相似三角形的性质 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形中对应高、中线、角平分线的性质，通过回顾相似三角形定义、判定及性质，类比全等三角形对应线段关系，以问题链搭建新旧知识支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于以模型房立柱等情境问题激发探究，通过逻辑推理（如证△ADC∽△A'D'C'）得出性质，结合例题、变式培养推理意识与应用意识。小结与检测系统巩固，助力学生发展数学思维，为教师提供结构化教学资源。

第三章 图形的相似 4 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中特殊对应线段的性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 前面我们学习了相似三角形的有关知识.回答下面的问题： (1)什么叫作相似三角形? (2)如何判定两个三角形相似? (3)相似三角形有何性质? 知识关联 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形 ①两角分别相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③三边成比例的两个三角形相似。 对应边成比例、对应角相等 韵 (authorId_273335559) - 回顾前面所学内容,加深学生对所学知识的理解,通过设问,激发学生的学习兴趣,为学习新知识做准备,让学生明确本节课学习的内容.重点让学生回顾理解三角形中的三条重要的线段——中线、高线和角平分线的特征. 前面我们学习了相似三角形的有关知识.回答下面的问题： (4)想一想:一个三角形有三条重要的线段,你们知道是哪三条吗? 追问：两个全等三角形的对应高、对应角平分线和对应中线分别相等,那么两个相似三角形的这些对应线段会有怎样的关系呢? 知识关联 三角形的高线、中线、角平分线 这就是本节课要研究的问题，我们一起开始探究吧！ 【探究】 相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 【情境问题】 如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的屋架△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.如果CD=1.5 cm,那么模型房的屋架立柱有多高?你是怎样想的? 解:由题意可知△ABC∽△A'B'C',,∴∠A=∠A'. ∵CD和C'D'分别是它们的立柱, ∴∠ADC=∠A'D'C', ∴△ADC∽△A'D'C', ∴==. ∵CD=1.5 cm, ∴C'D'=3 cm. 相似三角形对应边上高的比等于相似比 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生思考后独立完成证明过程,然后指名回答,并在全班讲评,最后总结发现相似三角形对应边的高的比与相似比之间的关系. 【探究】相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 解:∵AD,A'D'分别是两个三角形的中线, ∴BD=BC,B'D'=B'C',∴==.　∵△ABC∽△A'B'C', ∴==3,∠B=∠B',∴=, ∴△ABD∽△A'B'D',∴==3. 【思考·交流】 (1)如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为3,那么这两个三角形的两条中线AD,A'D'有怎样的关系?你还能提出类似的问题吗?与同伴进行交流. 相似三角形对应边中线的比等于相似比 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:通过学生小组合作探究,类比前面的探究过程进行证明,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评. 【探究】 相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 【概括新知】 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. (2)如果两个三角形相似,那么它们的对应高的比是多少?对应角平分线的比是多少?对应中线的比呢?请说明你的理由. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生根据相似三角形的性质和判定进行说明,从而得出结论.重点让学生说一说对应角平分线的比等于相似比的证明过程. 【探究】 相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 解:(1)∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'. ∵∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C', ∴∠BAD=∠B'A'D', ∴△ABD∽△A'B'D', ∴==k. 【操作·思考】 如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在边BC上,点D',E'在边B'C'上. (1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则的值等于多少? 　(2)若BE=BC,B'E'=B'C',则的值等于多少? 　(3)你能提出更一般性的问题吗? 【探究】 相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 解(2)∵△ABC∽△A'B'C', △ABC与△A'B'C'的相似比为k, ∴==k,∠B=∠B'. ∵BE=BC,B'E'=B'C', ∴==k,∴==k. ∵∠B=∠B', ∴△ABE∽△A'B'E',∴==k. 【操作·思考】 如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在边BC上,点D',E'在边B'C'上. (1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则的值等于多少? 　(2)若BE=BC,B'E'=B'C',则的值等于多少? 　(3)你能提出更一般性的问题吗? 【探究】 相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 解(3)答案不唯一. 如：将（1）中的换成，，结论还成立吗？ 若换成（k≠0）呢？说说你的理由. 同样将问题（2）中的也进行这样的变化，结论还成立吗？等等. 【操作·思考】 如图,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在边BC上,点D',E'在边B'C'上. (1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则的值等于多少? 　(2)若BE=BC,B'E'=B'C',则的值等于多少? 　(3)你能提出更一般性的问题吗? 【理解应用】 探究与应用 例 如图,AD是△ABC的高,AD=h,点R在边AC上,点S在边AB上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢? 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD, ∴SR∥BC.∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=(相似三角形对应高的比等于相似比), 即=. 当SR=BC时,得=.解得DE=h. 当SR=BC时,得=.解得DE=h. 【理解应用】 探究与应用 变式 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,△ADE∽△ACB,相似比为AD∶AC=2∶3,△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F,求AG与GF的比. 解：∵△ADE∽△ACB， ∴∠ADE=∠C. ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=∠CAF. ∴△AGD∽△AFC. ∴==， ∴AG∶GF=2∶1． 【拓展提升】 探究与应用 如图,△ABC中,内接矩形DEFG的一边DE在BC上,AH是BC上的高,AH交GF于点K,BC=48,EF=10,DE=18.求AK的长. 解：∵四边形DEFG为矩形，∴GF//BC,GF=DE=18,KH=FE=10. ∴△AGF∽△ABC, ∴=，即= ∴AK=6. 【小结】 课堂小结与检测 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比 【达标检测】 1.已知两个相似三角形的对应边的中线的比为4∶1,则它们对应高的比为 (　　) A.2∶1　B.4∶1　C.1∶2　D.16∶1 2.若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3,则这两个三角形的相似比为 (　　) A.5∶3　B.3∶5　C.25∶9　D.5∶3 3.两个相似三角形的对应中线之比是3∶5,其中较大的三角形一边上的高是10厘米,那么另一个三角形对应边上的高为　　　厘米.  课堂小结与检测 B A 4.已知△ABC∽△A'B'C',相似比为2∶3. (1)如果AD,A'D'分别为这两个三角形的对应高,且AD=9 cm,求A'D'的长; (2)如果AE,A'E'分别为这两个三角形的对应中线,且A'E'=10 cm,求AE的长; (3)如果AF,A'F'分别为这两个三角形的对应角平分线,求的值. 课堂小结与检测 解：（1）∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3，∴对应高的比等于2：3， 即AD：A′D′=2：3，∵AD=9cm,∴9：A′D′=2：3，解得：A′D′=13.5， ∴A'D′的长为13.5cm； （2）∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为2：3， ∴对应中线的比等于2：3，即AE：A′E′=2：3， ∵A′E′=10cm,∴AE：10=2：3，解得：AE=， ∴AE的长为cm； （3）∵AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，∴=． 【达标检测】 $第三章 图形的相似 4 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形周长和面积的性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 如图,在比例尺为1∶500的地图上,测得一个三角形地块的周长为12 cm,面积为6 cm2,求这个地块的实际周长及面积. 问题1　在这个情境中,地图上的三角形地块与实际地块是什么关系? 1∶500表示什么含义? 问题2　要解决这个问题,需要什么知识? 问题3　你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗? 问题4　如何判断你的猜想是否正确呢? 知识关联 两个图形相似.1∶500表示相似比. 两个全等三角形的周长、面积相等,那么两个相似三角形的周长、面积分别有怎样的关系呢? 韵 (authorId_273335559) - 回顾前面所学内容,加深学生对所学知识的理解,通过设问,激发学生的学习兴趣,为学习新知识做准备,让学生明确本节课学习的内容.重点让学生回顾理解三角形中的三条重要的线段——中线、高线和角平分线的特征. 【探究】 相似三角形周长和面积的性质 探究与应用 【尝试·思考】 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为2,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢? 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长和面积比吗? 解:∵△ABC∽△A'B'C',相似比为2, ∴===2, ∴=2， 即△ABC与△A'B'C'的周长比是2. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:先让学生猜想,然后独立完成证明过程,并在小组之间交流自己的做法,教师巡视指导,及时发现学生不同的做法. 【探究】 相似三角形周长和面积的性质 探究与应用 【尝试·思考】 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为2,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢? 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长和面积比吗? 解:分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D', ∴==2, ∴===4. 即△ABC与△A'B'C'的面积比是4. 故△ABC与△A'B'C'的周长比是2,面积比是4. 【探究】 相似三角形周长和面积的性质 探究与应用 【尝试·思考】 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为2,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢? 如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长和面积比吗? 解:如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k, ∴===k, ∴=k，即△ABC与△A'B'C'的周长比是k. 分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D', ∴==k,∴===k2. 故△ABC与△A'B'C'的周长比是k,面积比是k2. 【探究】相似三角形周长和面积的性质 探究与应用 【概括新知】 定理　相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 【探究】相似三角形周长和面积的性质 探究与应用 【思考·交流】 (1)两个相似四边形的周长比等于相似比吗?两个相似n边形呢? (2)两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗?你能利用相似三角形的性质说明吗?两个相似n边形呢?与同伴进行交流. 相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:问题(1)指导利用相似多边形的性质结合等比的性质证明得出结论.问题(2)引导学生将四边形分割成两个三角形,然后再利用相似三角形的性质进行证明. 【理解应用】 探究与应用 例 如图,将△ABC沿BC方向平移,得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S△ABC的一半.已知BC=2,求△ABC平移的距离. 解:根据平移的性质可知,EG∥AB. ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴==(相似三角形的面积比等于相似比的平方),即=. ∴EC2=2.∴EC=. ∴BE=BC-EC=2-,即△ABC平移的距离为2-. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:指导学生利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.先让学生在小组内交流各自的想法和思路,再独立完成. 【拓展提升】 探究与应用 如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,DF.已知四边形DFCE是平行四边形,=. (1)若AB=12,求线段AD的长; (2)若△ABC的面积为36,求平行四边形DFCE的面积. 解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形， ∴DE∥CF，DF∥AC， ∴△ADE∽△ABC， ∴==， ∵AB=12， ∴AD=4. 【拓展提升】 探究与应用 如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,DF.已知四边形DFCE是平行四边形,=. (1)若AB=12,求线段AD的长; (2)若△ABC的面积为36,求平行四边形DFCE的面积. 解：（2）∵△ADE∽△ABC， ∴=（）2=. ∵△ABC的面积为36， ∴△ADE的面积为4. ∵==，∴=. ∵DF∥AC， ∴△BDF∽△BAC，∴=（）2=. ∴S△BDF=×=16， ∴平行四边形DFCE的面积=36-16-4=16． 【小结】 课堂小结与检测 相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 【达标检测】 1.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的两个点,且==,则S△ADE∶S△ABC为 (　　) A.1∶3 　B.1∶2　 C.1∶3 　D.1∶4 2.两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm,并且它们的周长之和为48 cm,那么较小三角形的周长是 (　　) A.14 cm　B.18 cm　C.30 cm　D.34 cm 3.若三角形三边之比为3∶6∶8,与它相似的三角形的最长边为16 cm,则此三角形周长为　　　　 cm.  课堂小结与检测 D B 4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DE=8 cm,BC=12 cm,梯形BCED的面积 为90 cm2,求S△ADE. 课堂小结与检测 解：∵DE//BC, ∴△ADE∽△ABC， ∴=== ∴= . ∵梯形BCED的面积为90 cm2， ∴， ∴S△ADE=72 cm2. 【达标检测】 $