3.2 第4课时 黄金分割（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“黄金分割”，涵盖概念理解、黄金比计算、作图及应用。通过“观察美感图片”引出比例关系，结合五角星探究相似三角形，逐步抽象出黄金分割定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以自然（蝴蝶翅膀）、建筑（金字塔、东方明珠）实例培养数学眼光，推导黄金比时结合方程与作图培养推理意识，应用问题（挂画高度、书本宽长比）强化应用意识。课堂小结系统梳理知识，助力学生理解数学与现实联系，为教师提供丰富素材提升教学效果。

第4课时 黄金分割 3.2 探索三角形相似的条件 第三章 图形的相似 北师版 九年级（上） 1. 理解黄金分割的概念. (重点) 2. 探索并掌握黄金比，能够进行黄金分割的有关计算.(难点) 3.感受黄金分割所蕴含的文化价值，发展学生应用意识和审美意识. 素养目标 事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系. 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 新知探究 一个五角星如下图所示. (1) 从图中找出相等的角、相等的线段. (2) 在图中找出两对相似比不同的相似 三角形. 五角星的对称性 △ACD∽△ ABF，△FGH∽△DGC. A C B D E F G H K L 探究点：黄金分割的概念 新知探究 4 A C B D E F G H K L 小亮认为 ，你同意他的看法吗？说说你的理由. 度量、计算 ∵AG = AB，AD = BC 易证 △ACD∽△ AGC. 探究点：黄金分割的概念 新知探究 A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割. 点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 【归纳总结】 探究点：黄金分割的概念 新知探究 6 例1 计算黄金比. 解：由 ，得 AC² = AB·BC. 设 AB = 1，AC = x，则 BC = 1 – x. ∴ x² = 1×(1 - x)，即 x² + x – 1 = 0. 解这个方程，得 x1= ，x2= (不合题意，舍去). 所以，黄金比 探究点：黄金分割的概念 新知探究 1. 如图所示，已知线段 AB 按照如下方法作图： ①经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD = AB. ②连接 AD，在 AD 上截取 DE = DB. ③在 AB 上截取 AC = AE. 思考：点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗? A B D E C 【画一画】 探究点：黄金分割的概念 新知探究 8 ∴点 C 是线段 AB 的黄金分割点. A B D E C 探究点：黄金分割的概念 新知探究 F C A E B D 下图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把图中用 虚线表示的矩形画成图中的 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现， . 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的 宽与长的比是黄金比吗? 【尝试·思考】 探究点：黄金分割的概念 新知探究 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形. A B C D E F 探究点：黄金分割的概念 新知探究 例2 小明家搬进了新房，他买了一幅山水画，想挂到书房（书房高 3 米），请你帮他设计一下，挂在多高能给人赏心悦目的感觉？ 离地面的高度 h = 3×0.618 = 1.854 m 探究点：黄金分割的概念 新知探究 1.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) (A) 12.36 cm (B) 13.6 cm (C) 32.36 cm (D) 7.64 cm A 【解析】选A. 0.618×20 = 12.36(cm). 【练一练】 探究点：黄金分割的概念 新知探究 2.如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB =10 cm，则 AC 的长约为_____cm.（结果精确到 0.1 cm） 6.2 【解析】本题考查黄金分割的有关知识， 由题意知 ∴AC2 = (10 - AC)×10，解得 AC ≈ 6.2 cm. 探究点：黄金分割的概念 新知探究 【解析】由黄金分割定义可知，AC = BD = ×AB =(40 - 40) cm，AD = AB - BD=(120 - 40 ) cm， 所以 DC = AC - AD=(80 - 160) cm. 3.如图所示，乐器上的一根弦 AB = 80 cm，两个端点 A、B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm，DC =_______cm. 探究点：黄金分割的概念 新知探究 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比，普通树叶的宽与长之比也接近 0.618. 大自然与黄金分割 探究点：黄金分割的概念 新知探究 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异. 但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618. 探究点：黄金分割的概念 新知探究 东方明珠塔，塔高 468 米.设计师在 263 米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观. 探究点：黄金分割的概念 新知探究 18 黄金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割.点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段 : 原线段 = 定义 课堂小结 1. 已知线段AB＝2，点 C 是 AB 的一个黄金分割 点，且AC＞BC，则 AC 的长是(　B　) A. B. －1 C. D. 3－ B 当堂反馈 2. 如图①是古希腊时期的帕提侬神庙，把图中虚线 表示的矩形画成图②中的矩形ABCD，以AD为边 在其内部作正方形AEFD，我们发现点E是线段AB 的黄金分割点(AE＞BE)，据此可求得比值 为 (　B　) A. B. C. D. B 当堂反馈 3. 已知 M 是线段 AB的黄金分割点，MA是被分线 段AB中较长的线段，且MA＝2(－1)，则原线段 AB的长为 ⁠. 4　 当堂反馈 4. 如图，用长为 40 cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD(AB＞AD). 若这个矩形为黄金矩形(宽与长之 比等于黄金比 ). (1)求该矩形的长. 解：(1)设AB＝xcm，则AD＝(20－x)cm. 由题意得 ＝ ，解得x＝10 －10. 经检验，x＝10 －10是原方程的根， 即AB＝(10 －10)cm. 答：矩形的长为(10 －10)cm. 当堂反馈 (2)求该矩形的面积.(结果保留根号) 4. 如图，用长为 40 cm 的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB＞AD). 若这个矩形为黄金矩形(宽与长之比等于黄金比 ). 解：(2)∵AB＝(10 －10)cm， ∴AD＝20－(10 －10)＝(30－10 )(cm). ∴(10 －10)×(30－10 )＝(400 －800)(cm2). 答：该矩形的面积为(400 －800)cm2. 当堂反馈 5. 在人体躯干上，肚脐是理想的黄金分割点，即脚底到肚脐的长度与身高的比值越接近 0.618，越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比值为0.60，她的身高为 1.60 m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？(精确到十分位) 解：根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96(cm). 设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的 定义得 ＝0.618，解得x≈7.5. 故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美. 解：根据已知条件得下半身长是 160×0.6＝96(cm). 设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的 定义得 ＝0.618，解得x≈7.5. 故她应该选择 7.5 cm 左右的高跟鞋穿上看起来更美. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $