3.2 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用两边及夹角判定三角形相似”，通过复习导入中“两边成比例是否相似”“增加角的位置”问题链，衔接旧知与新知，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以操作探究引导学生画图测量，培养几何直观（数学眼光），通过例题推理（如例3用垂直隐含条件）发展推理能力（数学思维），规范符号语言表达强化模型意识（数学语言）。学生提升探究与推理能力，教师获得完整教学流程与多样化例题。

第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似 第三章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 北师版 九年级（上） 1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点） 素养目标 问题1 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流. 3 3 5 5 两边成比例的两个三角形不定相似. 问题2 如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 我们先来考虑增加一角相等的情况. 相等的角可能是其 中一边的对角，也可能是两边的夹角. 复习导入 (1) 任意画 △ABC . (2) 再画 △A′B′C′，使∠A=∠A′， 都等于给定的值 k. (3) 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？ 设法比较 ∠B 与 ∠B' (或 ∠C 与 ∠C′ ) 的大小. △ABC 和 △A'B'C' 相似吗？ (4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？ 【操作·交流】 B A C B' A' C' 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠A=∠A′， B A C B' A' C' ∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . 【归纳总结】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： △ABC ：∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， △A′B′C′ ：∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm，A′C′ = 6 cm． 解：∵ ∴ 又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC∽△A′B′C′. 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 1. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. 证明：∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形， AD = AE，AB = AC， ∴ ∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE， 即 ∠DAE =∠BAC. A B C D E 又 ∵∠DAB = ∠CAE， ∴△ABC ∽ △ADE. 【练一练】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 解：∵ AE = 1.5，AC = 2， 例2 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的 点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. A C B E D ∴ 又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC. ∴ ∴ 提示：解题时要找准对应边. ∴ ∵ BC = 3， 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 8 2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长. A B C D 解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ， ∴ 又∵∠B =∠ACD，∴ △ABC∽△DCA. ∴ . ∴ 【练一练】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 4 cm 50° 3.2 cm 2 cm 50° 1.6 cm 【思考·交流】 不一定相似 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 【归纳总结】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 新知探究 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB = 90°. ∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°. 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，求证：∠ACB = 90°． ∵ 方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. ∴△ADC ∽△CDB. ∴∠ACD = ∠B. 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 A B C D 新知探究 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 相似三角形的判定定理 2 的运用 课堂小结 1. 如图，在△ABC 中，D，E分别在AB，AC上， 连接DE，下列条件中不能判断△ADE∽△ACB的 是(　D　) A. ∠ADE＝∠C B. ∠AED＝∠B C. ＝ D. ＝ D 当堂反馈 2. 已知△ABC 如图所示，则下列 4 个三角形中，与△ABC 相似的是(　C　) C 当堂反馈 3. 在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠B＝∠B'，AB＝6， BC＝8，B'C'＝4，当A'B'＝ 时， △ABC∽△A'B'C'；当A'B'＝ 时， △ABC∽△C'B'A'. 3　 当堂反馈 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， CD是斜边AB上的高.若CD2＝BD·AD， 则可直接证明 ∽ ⁠. △ADC　 △CDB 5. 如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点， BP＝3PC，Q是CD的中点，则 △ ∽△ ⁠. ADQ　 QCP　 当堂反馈 A B C D P P 6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB 上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度 为 时，△ADP 和 △ABC 相似. 4 或 9 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 = 6 : 8 ，解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时，AD : AB = AP : AC ， ∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ADP 和 △ABC 相似． 当堂反馈 7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE. 若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE. 证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝ ＝10. ∴DB＝AD－AB＝15－10＝5. ∴AB∶DB＝2∶1. ∵EB＝CE－BC＝9－6＝3， ∴BC∶EB＝2∶1. ∴BC∶EB＝AB∶DB. 又∵∠ABC＝∠DBE， ∴△ABC∽△DBE. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $