2.4.1 行程(或动点)问题及平均变化率问题 课件 -2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程实际应用，涵盖平均变化率、行程及几何动点三大高频题型，通过实际问题导入，衔接方程解法，构建“找等量关系-设未知数-列方程-求解检验”的解题支架，助力学生掌握核心思路。 其亮点在于以固定公式模型（如A(1±x)²=B）和规范解题步骤培养数学思维，结合梯子滑动、矩形动点等实例强化模型意识与应用意识，帮助学生提升问题解决能力，教师可直接利用例题习题实施教学，提高课堂效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.4.1行程(或动点)问题及平均变化率问题 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.4.1 行程（动点）问题及平均变化率问题 同步讲义与习题 本节课属于一元二次方程实际应用专项课时，重点攻克两大必考题型：几何动点运动问题、行程问题、平均变化率问题。核心解题思路为：找等量关系→设未知数→列一元二次方程→求解并检验取舍，是单元测试、期末解答题高频重难点。 一、核心知识点与解题模型 1. 平均变化率问题（固定公式模型） 适用于增长率、下降率、变化率类问题，是套路最强、最易得分的题型。 通用公式：$$A(1\pm x)^n=B$$ - $$A$$：初始基础量 - $$x$$：平均变化率（增长率取$$+$$，下降率取$$-$$） - $$n$$：变化次数 - $$B$$：最终变化后总量 必考特例（两年变化）：$$A(1\pm x)^2=B$$ 取值规则：变化率$$x>0$$，解方程后负数解直接舍去。 2. 行程问题（一元二次方程类） 区别于一次方程简单行程，此类问题多为变速运动、分段运动、相遇追及差值问题，核心依据基础行程公式： $$路程=速度\times时间$$ 常见题型：路程差问题、提速省时问题、往返行程问题，通过时间、路程差值建立等量关系列方程。 3. 几何动点问题（期末压轴高频） 点在线段上匀速运动，结合三角形、矩形面积、边长关系列方程，是本章难点。 通用解题步骤： 1. 设运动时间为$$t$$秒，用含$$t$$的式子表示动点路程、线段长度； 2. 根据面积、勾股定理、边长关系列一元二次方程； 3. 解方程后检验取值范围（动点不能超出线段范围），舍去不合理解。 4. 实际应用题通用取舍原则 - 时间、长度、变化率不能为负数； - 动点运动时间需满足：运动路程不超过线段总长； - 实际问题中，两个根大概率一解有效、一解舍去。 二、经典例题精讲（满分标准步骤） 例1 平均增长率问题 某商店今年盈利10万元，预计后两年盈利逐年增长，两年后盈利12.1万元，求每年的平均增长率。 解：设每年平均增长率为$$x$$。 列方程：$$10(1+x)^2=12.1$$ 化简得：$$(1+x)^2=1.21$$ 开方：$$1+x=\pm1.1$$ 解得：$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（增长率为负，舍去） 答：每年的平均增长率为10%。 例2 行程提速问题 甲乙两地相距120km，一辆汽车从甲地到乙地，提速20km/h后，行驶时间缩短了1h，求汽车原来的行驶速度。 解：设原速度为$$x$$ km/h，则提速后速度为$$(x+20)$$ km/h。 原时间$$-\$$现时间$$=1$$，列方程：$$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+20}=1$$ 去分母整理得：$$x^2+20x-2400=0$$ 解得：$$x_1=40$$，$$x_2=-60$$（速度为负，舍去） 答：汽车原来的速度为40km/h。 例3 几何动点面积问题 在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以1cm/s向B运动，点Q从B出发沿BC以2cm/s向C运动，两点同时出发，求运动多少秒后，△PBQ的面积为8cm²。 解：设运动时间为$$t$$秒。 $$AP=t$$，$$PB=(8-t)$$，$$BQ=2t$$ 由三角形面积公式：$$\dfrac12(8-t)\cdot2t=8$$ 化简得：$$t^2-8t+8=0$$ 解得：$$t_1=4+2\sqrt{2}$$（超出取值范围，舍去），$$t_2=4-2\sqrt{2}$$ 答：运动$$(4-2\sqrt{2})$$秒后，△PBQ面积为8cm²。 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 某商品原价200元，连续两次降价，平均降价率为$$x$$，两次降价后售价162元，列方程正确的是（ ） A. $$200(1-x)^2=162$$ B. $$200(1+x)^2=162$$ C. $$200(1-2x)=162$$ D. $$200(1+2x)=162$$ 2. 某工厂产值两年内从50万增长到72万，平均增长率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% 3. 动点应用题解方程后，负数根通常需要（ ） A. 保留 B. 舍去 C. 验证 D. 随意取值 4. 甲乙两地相距80km，提速后每小时多走4km，时间少用1h，设原速度为$$x$$，方程为（ ） A. $$\dfrac{80}{x}-\dfrac{80}{x+4}=1$$ B.$$\dfrac{80}{x+4}-\dfrac{80}{x}=1$$ C. $$\dfrac{80}{x}+\dfrac{80}{x+4}=1$$ D. 无正确选项 5. 几何动点问题核心是（ ） A. 直接猜数 B. 用时间表示线段长，找等量列方程 C. 只用勾股定理 D. 只用面积公式 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 平均增长率两年模型公式：________。 2. 初始产量100，两年后144，平均增长率为________。 3. 行程问题核心公式：________。 4. 动点问题必须检验________的取值范围，舍去不合理解。 5. 连续两次下降率为$$x$$，原式公式为________。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）某小区2023年绿化面积为2000㎡，2025年绿化面积达到2420㎡，求这两年绿化面积的平均增长率。 2.（16分）一辆汽车行驶180km，提速10km/h后，行驶时间减少0.5h，求汽车原来的行驶速度。 3.（18分）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从A沿AB以1cm/s向B运动，点Q从B沿BC以1cm/s向C运动，同时出发，求几秒后，△PBQ的面积为12cm²。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.A 解析：降价率用$$1-x$$，两次降价平方。 2.C 解析：$$50(1+x)^2=72$$，解得$$x=20\%$$。 3.B 解析：时间、速度、长度均为正数，负数根舍去。 4.A 解析：原时间更长，原时间减新时间等于1。 5.B 解析：动点问题通用方法：用时间表示线段，找等量列方程。 （二）填空题 1. $$A(1+x)^2=B$$ 2. 20% 解析：$$100(1+x)^2=144$$，$$x=0.2$$ 3. 路程=速度×时间 4. 运动时间（动点位置） 5. $$A(1-x)^2=B$$ （三）解答题 1. 解：设平均增长率为$$x$$。 $$2000(1+x)^2=2420$$ $$(1+x)^2=1.21$$，解得$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=-2.1$$（舍去） 答：平均增长率为10%。 2. 解：设原速度为$$x$$ km/h。 $$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+10}=0.5$$ 整理得：$$x^2+10x-3600=0$$ 解得：$$x_1=80$$，$$x_2=-90$$（舍去） 答：汽车原来速度为80km/h。 3. 解：设运动时间为$$t$$秒。 $$PB=10-t$$，$$BQ=t$$ 列方程：$$\dfrac12(10-t)t=12$$ 整理得：$$t^2-10t+24=0$$ 解得：$$t_1=4，t_2=6$$ 检验：$$t=4$$、$$t=6$$均符合动点运动范围，均有效。 答：4秒或6秒后，△PBQ面积为12cm²。 五、课时小结 1. 平均变化率：牢牢记住两年平方公式，增加减减，负根必舍； 2. 行程问题：以时间差、路程差为等量，列分式型一元二次方程； 3. 动点问题：用时间表示线段是关键，解完务必检验实际取值范围，杜绝扣分。 1.掌握建立数学模型解决几何(行程)问题。 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。 学习目标 2 如图，一架长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。 10 m 8 m 3 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? ① 梯子底端滑动的距离=梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。 10 m 8 m 思考：你能找到哪些等量关系? 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? 设梯子顶端下滑x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为=6(m)。 根据题意，由勾股定理，得(8-x)²+(6+x)²=10²。 化简，得x²-2x=0。 解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2。 所以梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等。 10 m 8 m x m x m 知识点1 一元二次方程的应用 问题2 如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离是12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗? 设梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等且距离都为y m。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为 =5(m)。 根据题意，由勾股定理，得(12-y)²+(5+y)²=13²。 化简，得y²-7y=0。 解得y1=0 (不合题意，舍去)，y2=7。 所以梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等，这个距离为7m。 13 m 12 m y m y m 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 知识点1 一元二次方程的应用 知识点1 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，找出等量关系； (2)设：设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)列：列一元二次方程； (4)解：解一元二次方程； (5)验：检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)答：作答。 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)? 例1 A D B E F C 北 东 知识点1 一元二次方程的应用 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+(300-2x)²， 整理，得3x²-1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 跟踪训练 如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米。 A. B. C. 1.5 D. 知识点1 一元二次方程的应用 A 跟踪训练 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则所列方程是 。 知识点1 一元二次方程的应用 (30－2x)(40－2x)＝600 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1m/s。多少秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半? . . 解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 根据题意，得 。 整理，得 x2-14x+24=0。 解这个方程，得 x1=2，x2=12(不合题意，舍去) 答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 A B C P Q 8m 6m 2.今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。 问：甲乙行各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：把知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。相遇时，甲、乙各走了多远? 请你画出示意图，并解决这个问题。 . . 解：示意图如图所示。设相遇时甲、乙所走的时间为x。 根据题意，得10²+(3x)²=(7x-10)²。 整理，得2x²-7x=0。 解得x1=3.5，x2=0(不合题意，舍去)， ∴x=3.5， ∴7x=3.5×7=24.5，3x=3.5×3=10.5。 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步。 【点拨】如图，设与墙垂直的边长为 ，则与墙平行的边 长为，由题意得, ，解得 ，.当时， ；当 时， ，不合题意舍去. 所以周长为 .所以这个长方形场地的周长 为 . 返回 考试考法 16 （第2题） 2.如图所示的是一张长、宽 的 矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和 两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分） 可制成底面积是 的有盖的长方体铁 盒.则剪去的正方形的边长为___ . 2 返回 考试考法 17 （第3题） 3. 如图，一块正方形地砖的图案是由4个全 等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正 方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线 段的长度为 ，则这块地砖的面积为 ____. 40 考试考法 18 【点拨】如图，连接小正方形的两条对角线， 设与交于点.根据题意易知，点 为正 方形、正方形 的中心， ，即 ， 考试考法 19 ，.设正方形的边长为 ， 则 ， ,解得 .， 或 考试考法 ， ， . 返回 考试考法 一元二次方程的解 应用一元二次方程 实际问题 实际问题的解 解方程 建立一元二次方程模型 检验 分析数 量关系 设未知 数 问题 解决 课堂小结 $