2.4.1 行程、几何图形及动点问题 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决行程、几何图形及动点问题，通过“梯子下滑”复习勾股定理导入新知，衔接本章知识，引导学生从实际问题抽象等量关系，搭建从具体情境到方程模型的学习支架。 其亮点是以问题链驱动教学，从梯子问题到海军基地行程问题再到动点问题，分层设计例题与练习。通过几何直观和模型意识，引导学生抽象数量关系建立方程，培养推理能力和运算能力。学生能提升实际问题解决能力，教师可利用结构化资源提高教学效率。

第二章 一元二次方程 2.4.1 行程、几何图形及动点问题 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 01 02 1.掌握建立数学模型解决几何(行程)问题,解决与勾股定理有关的实际问题。 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。 02 新知导入 复习导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 03 新知探究 x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8-x)2+(6+x)2 =102 x2-2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2。 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 03 新知讲解 （2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2 =132 x2-7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7。 03 新知讲解 提炼概念 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 新课探究 例1 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 新课探究 例1 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 03 新知讲解 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 A D B E F C 北 东 03 新知讲解 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+(300-2x)²， 整理，得3x²-1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 A D B E F C 北 东 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10 km，甲以16 km/h的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12 km/h的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6 km。 A. B. C. 1.5 D. A 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 解：设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm。 由题意有 t2＋(21－t)2 = 152， 解得 t1 = 9，t2 = 12。 所以，运动 9 s 或12 s 时，P ，Q 两点相距 15 cm。 2.如图，在 △ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm。动点 P 从点 C 出发沿 CA 方向运动，动点 Q 同时从点 B 出发沿 BC 方向运动。如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么经过几秒它们相距 15 cm？ 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 A B C P Q 8m 6m 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1m/s。多少秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半? 解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 根据题意，得 。 整理，得 x2-14x+24=0。 解这个方程，得 x1=2，x2=12(不合题意，舍去) 答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 14 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝8 m，AD＝3 cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动。请问当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了(　　)秒。 A. 4 B. 或4 C. 或8 D. B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 2.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是　　　　　尺。 8，6，10 06 作业布置 【综合拓展类作业】 3.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动。P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm。 06 作业布置 【综合拓展类作业】 解　设P，Q两点从出发经过t s时，点P，Q间的距离是10 cm， 作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6 cm，PQ=10 cm，如图所示. ∵PA=3t cm，BE=CQ=2t cm， ∴PE=|AB-AP-BE|=|16-5t|，由勾股定理， 得(16-5t)2+62=102， 整理，得25t2-160t+192=0.解得t1=4.8，t2=1.6。 故从出发到1.6 s或4.8 s时，点P和点Q的距离是10 cm。 Thanks! 二一教育 $