2.2 第5课时 利用一元二次方程解决面积问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦利用一元二次方程解决面积问题，通过小区通道规划例题导入，结合荒地花园不同设计方案，搭建从方程解法到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实际情境（如封面设计、道路修筑）培养数学眼光，通过平移法和多解法发展数学思维，借助视频动态展示强化直观理解。既提升学生模型应用能力，又为教师提供丰富例题与变式，助力高效教学。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第5课时 利用一元二次方程解决实际问题 北师版 九年级（上） 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（重点） 2. 能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（难点） 素养目标 问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的 方程为_____________________. C B D A (30 - 2x)(20 - x) = 6×78 情境导入 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 问题：在一块长 16 m，宽 12 m 的矩形荒地上，要建造上个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 16 m 12 m 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？ 新知探究 解：设小路的宽为 x m，根据题意得： 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解方程得 x1 = 2， x2 = 12. 将 x = 12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为 2 m. 小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程，得到小路的宽为 2 m 或 12 m. 16 m 12 m 问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 解：由图片信息得，四个扇形组成一个圆 设扇形半径为 x m，根据题意得： 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = (舍去)，x2 = . 答：扇形半径约为 5.5 m. 小亮设计： 如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同. 问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16 m 12 m 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 解：设小路的宽为 x m，根据题意得： 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解方程得 x1 = 4，x2 = 24. 将 x = 24 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为 4 m. 小颖设计：如右图所示，其中花园小路是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等. 问题：你能帮小颖计算一下图中小路的宽吗？ 16 m 12 m x m x m 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 例1 要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？ 27 cm 21 cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右 边衬的宽度之比 : . 9 9 解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为 9 7 7 7 27 cm 21 cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 设上下边衬的宽均为 9x cm，则左右边衬宽为 7x cm，中央的矩形的长为 (27 − 18x) cm，宽为 (21 − 14x) cm. 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 27cm 21cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 于是可列方程 解得 故上下边衬的宽为 故左右边衬的宽为 方程的哪个根符合实际意义? 为什么? 试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 27 cm 21 cm 整理，得 16x2 − 48x + 9 = 0. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 解法2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为 左右边衬的宽度为 27cm 21cm 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为9 cm²？ 根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm. 解：设点 P，Q 出发 x s 后 S△PCQ = 9 cm². 整理，得 解得 x1 = x2 = 3. 答：点 P，Q 出发 3 s 后 S△PCQ 为 9 cm². 则有 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 【方法点拨】 新知探究 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米，则 例3 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他方法吗？ 方法一： 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米，可列方程 20 − x 32 − x (32 − x)(20 − x) = 540. 整理，得 x2 − 52x + 100 = 0. 解得 x1 = 2，x2 = 50. 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴取 x = 2. 答：道路的宽为 2 米. 方法二： 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米，且 x＜20. (32 − x)(20 − x) = 540 可列方程为 变式一 x 20 - x 32 - x 答：道路的宽为 2 米. 解得 x1 = 50(舍)，x2 = 2. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 20 32 x 2x 20 - x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米，且 x＜16. (32 − 2x)(20 − x) = 540. 可列方程为 变式二 32 - 2x x2 = 18 - 解得 x1 = 18 + (舍)， 答：道路的宽约为 1.45 米. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 20 32 2x 2x 32 − 2x 20 − 2x 在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米且 x＜10. (32 − 2x)(20 − 2x) = 540. 可列方程为 变式三 ∴x = 1. 答：道路的宽为 1 米. 解得 x1 = 25(舍)，x2 = 1. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路平移，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）. 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 视频：平移求面积动态展示 点击视频开始播放 探究点：利用一元二次方程解决面积问题 新知探究 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 类 型 课本封面问题 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移，聚零为整，方便列方程 动点面积问题 课堂小结 1. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的 长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为 (　B　) A. x(20＋x)＝64 B. x(20－x)＝64 C. x(40＋x)＝64 D. x(40－x)＝64 B 当堂反馈 2. 如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形空地 上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路 分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要 使草坪面积为300m2，则道路宽为多少米？ 当堂反馈 解：设 ⁠. 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. (x＝ 不合题意，舍去) 答： ⁠. 道路宽为xm　 (22－x)(17－x)＝300　 x1＝37，x2＝2　 37　 道路宽为2m　 书写通关 当堂反馈 3. 如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用75m 长的围栏围成总面积为300m2的两个大小相同的矩 形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 当堂反馈 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(75－3x)m. 根据题意得(75－3x)x＝300， 解得x1＝20，x2＝5. 当x＝20时，75－3x＝15＜25，符合题意. 当x＝5时，75－3x＝60＞25，不符合题意，舍去. ∴AB＝20m，BC＝15m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 3. 如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用75m 长的围栏围成总面积为300m2的两个大小相同的矩 形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 当堂反馈 4.如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向彩条的宽度 2x cm，则竖向彩条的宽度 3x cm. 则 答：横竖条的宽度分别是 解得 ∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0， ∴ x＜ 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $