2.2 第4课时 因式分解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过复习“若ab=0则a=0或b=0”引入，结合方程(x+3)(x-5)=0实例过渡到小球运动问题，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解解法依据。 其亮点在于通过小颖、小明、小亮的解法对比强化推理意识，多方程多方法求解（如x²-4=0用因式分解和直接开方）培养运算能力与应用意识，歌诀“右化零，左分解；两因式，各求解”优化数学语言表达。学生能提升解题灵活性，教师可高效落实重点难点。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 第4课时 因式分解法 北师版 九年级（上） 1. 理解用因式分解解方程的依据. 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 素养目标 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解． 你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？ 复习导入 一个小球从地面以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s) 满足关系：h = 15t - 5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 设小球经过 t s 落回地面，此时 h = 0， 于是可得方程 15t - 5t² = 0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 由方程 15t - 5t² = 0， 得 5t² - 15t = 0， 所以 t1 = 0，t2 = 3。 由方程 15t - 5t² = 0， 得 5t² = 15t， 所以 t = 3。 两边都约去 5t，得 他们做得对吗？为什么？ 小颖 小明 √ × t = 0 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 由方程 15t - 5t² = 0， 得 5t² - 15t = 0， 所以 t1 = 0，t2 = 3。 小亮 即 5t(t - 3) = 0， 于是 t = 0，或 t - 3 = 0。 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 因式分解 两个因式乘积为 0，说明什么？ 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 他做得对吗? 为什么? 你是怎么做的? 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 当一元二次方程的一边为 0，而另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，就可以用小亮的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 例1 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2. 解：(1) 原方程可变形为 x = 0 或 5x - 4 = 0. ∴ x1 = 0，x2 = . x(5x - 4) = 0. 5x2 - 4x = 0， (2) 原方程可变形为 x - 2 = 0 或 x - 1 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 1. (x - 2)(x - 1) = 0. x(x - 2) - (x - 2) = 0. 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 【练一练】1. 解下列方程： (1) (x + 1)2 = 5x + 5； 即 x1 = −1，x2 = 4． 解：(1) 移项，得 (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. 左边分解因式，得 (x + 1)(x − 4) = 0. 于是 x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 (2) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2． 解：方程整理，得 (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0， 左边分解因式，得 [(x − 3) + (5 − 2x)][(x − 3) − (5 − 2x)] = 0， 于是 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0， 即 x1 = 2，x2 = . 即 (2 − x)(3x − 8) = 0. 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 十字相乘法因式分解 运算法则： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 条件： 1. 多项式为二次三项式； 2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的___等于一次项系数. 和 【拓展】 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0. x2 −5x + 6 ； 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 . · × -2 -3 −2x + ( −3)x = -5x ③ 检验确定，横写因式. ① 竖分常数项与二次项； ② 交叉相乘，积相加； 即 x1 = 2，x2 = 3. 于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0， 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 x2 + 4x − 5 = 0. 用因式分解的十字相乘法解题较快. 解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 即 x1 = −5，x2 = 1． 2. 解方程： 【练一练】 于是 x + 5 = 0，或 x − 1 = 0， 探究点1：用因式分解法解一元二次方程 新知探究 操作·思考 解下列方程： x2 - 4 = 0，(x + 1)2 - 25 = 0， x2 + 2x - 3 = 0，x2 - 6x + 8 = 0。 因式分解法解 x2 - 4 = 0 解： x2 - 4 = 0 可变形为 x + 2 = 0 或 x - 2 = 0. ∴ x1 = -2，x2 = 2 . (x + 2)(x - 2) = 0. 直接开方法解 x2 - 4 = 0 解：移项，得 x2 = 4 直接开平方，得 x = ±2 ∴ x1 = -2，x2 = 2. 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 ∴ x1 = -6，x2 = 4. (x + 6)(x - 4) = 0. 解：分解因式，得 [(x + 1) + 5][(x + 1) - 5] = 0. (x + 1)2 - 25 = 0 x + 6 = 0 或 x - 4 = 0. 因式分解法 直接开方法 解：移项，得 (x + 1)2 = 25 直接开平方，得 x + 1 = ±5 ∴ x1 = -6，x2 = 4. x + 1 = -5或x + 1 = 5 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 x2 + 2x - 3 = 0 ∴ x1 = -3，x2 = 1. 解：分解因式，得 (x + 3)(x - 1) = 0. x + 3 = 0 或 x - 1 = 0. 因式分解法 配方法 解：移项，得 x2 + 2x = 3. 配方，得 (x + 1)2 = 4. 由此可得 x + 1 = ±2， ∴ x1 = -3，x2 = 1. 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 x2 - 6x + 8 = 0 ∴ x1 = 2，x2 = 4. 解：分解因式，得 (x - 2)(x - 4) = 0. x - 2 = 0 或 x - 4 = 0. 因式分解法 公式法 解：这里 a = 1，b = −6，c = 1. ∵ b2-4ac = (−6)2 -4×1×8 = 4. ∴ x1 = 2，x2 = 4. 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 分析：该式左右两边含公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解得 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 = 分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，则用公式法. 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵b2 - 4ac = 28 > 0， 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 一元二次方程的解法选择基本思路： 化成一般形式 ax2 + bx + c = 0 直接开平方法 因式分解法 b＝0，ax2 + c = 0 是 容易因式分解 c＝0，ax2 + bx = 0 否 公式法或配方法 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 探究点2：灵活选用适当的方法解方程 新知探究 因式分解 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 课堂小结 1. 已知一元二次方程的两根分别为x1＝1，x2＝－ 3，则这个方程可以是(　B　) A. (x－1)(x－3)＝0 B. (x－1)(x＋3)＝0 C. (x＋1)(x＋3)＝0 D. (x＋1)(x－3)＝0 B 当堂反馈 2. 方程x2＝－6x的根是(　A　) A. x1＝0，x2＝－6 B. x1＝0，x2＝6 C. x＝6 D. x＝0 A 当堂反馈 3. 用因式分解法解下列方程： (1)3y2－6y＝0； 解：因式分解，得 ⁠. ∴ ⁠. 解得y1＝ ，y2＝ ⁠. 3y(y－2)＝0　 3y＝0或y－2＝0　 0　 2　 书写通关 当堂反馈 (2)x(x＋1)＝2x2； 解：移项，得x(x＋1)－2x2＝0， 因式分解，得x(x＋1－2x)＝0， x(1－x)＝0，∴x＝0或1－x＝0， 解得x1＝0，x2＝1. 解：移项，得x(x＋1)－2x2＝0， 因式分解，得x(x＋1－2x)＝0， x(1－x)＝0，∴x＝0或1－x＝0， 解得x1＝0，x2＝1. 3. 用因式分解法解下列方程： 当堂反馈 (3)(2x－1)2＝(x＋3)2. 解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 因式分解，得[(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋ 3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0， 解得x1＝4，x2＝－ . 解：移项，得(2x－1)2－(x＋3)2＝0. 因式分解，得 [(2x－1)－(x＋3)][(2x－1)＋(x＋3)]＝0， 即(x－4)(3x＋2)＝0， 解得x1＝4，x2＝－ . 3. 用因式分解法解下列方程： 当堂反馈 4. 选用合适的方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9； 解：x1＝2，x2＝－1. (2)x2＋4x－1＝0； 解法一：(配方法) 解：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . 解法二：(公式法) 解：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . 解：x1＝2，x2＝－1. 解：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . 解：x1＝－2＋ ，x2＝－2－ . 当堂反馈 (3)x2－9＝2x＋6. 解：x1＝－3，x2＝5. 解：x1＝－3，x2＝5. 4. 选用合适的方法解下列方程： 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $