2.1 第2课时 一元二次方程的解及其估算（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的解及其估算，通过复习导入回顾方程特点与一般形式，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从概念理解过渡到解的探索。 其亮点在于结合地毯宽度、梯子滑动等实际问题，运用“区间逐步缩小法”培养数学思维（推理意识、运算能力）和数学眼光（抽象能力、创新意识），课堂小结结构化步骤助力学生掌握估算方法，既提升学生逻辑思维与应用能力，也为教师提供清晰教学流程与实例支撑。

2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 第二章 一元二次方程 北师版 九年级（上） 1. 理解方程的解的概念. 2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3. 会估算一元二次方程的解.（难点） 素养目标 问1：一元二次方程有哪些特点？ ① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是 2； ③整式方程 问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0) 复习导入 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? – 4， –3， –2， –1，0，1，2，3，4 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x2 – x – 6 14 6 0 – 4 – 6 – 6 – 4 0 6 总结：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 探究点1：一元二次方程的根 新知探究 例1 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 总结: 已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的方程，然后解这个方程，就能得到字母的值. ∴ a = . 探究点1：一元二次方程的根 新知探究 变式 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2026 的值. 解：由题意得 a2 + 2a - 2 = 0，即 a2 + 2a = 2. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解 ∴ 2a2 + 4a + 2026 = 2(a2 + 2a) + 2026 = 2×2 + 2026 = 2030 探究点1：一元二次方程的根 新知探究 问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2x)(5 - 2x) = 18，你能求出这个宽度吗？ (1) x 可能小于 0 吗？说说你的理由. 不能，因为 x 代表宽度，小于 0 不符合实际. x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？ 说说你的理由. 8 - 2x 5 - 2x 当 x > 4，不可能，5 - 2x < 0，边长无意义； 当 x > 2.5，不可能，5 - 2x < 0，地毯宽为负. 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8 - 2x)(5 - 2x) （4）你知道地毯花边的宽 x (单位：m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流． 4 10 18 28 （2）你能确定 x 的大致范围吗？ 8 - 2x＞0，5 - 2x＞0， 解得 x＜4，x＜2.5， 所以 0＜x＜2.5 x = 1 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 (1) 小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？ 可能是 3 m 吗？为什么？ 【尝试·思考】在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 (x + 6)2 + 72 = 102，也就是 x2 + 12x - 15 = 0. 10 m 8 m 1 m x m 12 + 12×1 - 15 = -2 22 + 12×2 - 15 = 13 32 + 12×3 - 15 = 30 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 10 m 8 m 1 m x m (3) 你能猜出滑动距离 x (单位：m) 的大致范围吗？ x 表示宽度，所以 x 不可能小于 0； x 1 2 3 x2 + 12x - 15 -2 13 30 x 1 2 3 (x + 6)2 + 72 98 113 130 1＜x＜2 (4) x 的整数部分是几？十分位是几？ 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 小亮求解上述“尝试·思考”问题的过程如下： x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 可知 x 取值的大致范围是：1＜x＜1.5. 【思考·交流】 进一步计算： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 所以 1.1＜x＜1.2， 因此 x 整数部分是 1，十分位部分是 1． (1) 你明白小亮估算一元二次方程的解的想法吗？与同伴进行交流。 1. 先通过较大步长确定根所在的大致区间 1< x <1.5； 2. 再在该区间内缩小步长，进一步精确根所在的更小区间 1.1< x <1.2； 3. 重复此过程，逐步逼近方程的精确解，从而确定解的整数部分、十分位等。 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 (2) 如果要把 x 的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢？说说你的想法。 在区间 1.1< x <1.2 内，以 0.01 为步长计算函数值，找到符号变化的区间 (如 1.14< x <1.15)，取区间内更接近零点的值作为近似解，即可精确到百分位(近似为 x≈1.14)。 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 用“区间逐步缩小法”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值； ②根据题意所列的具体情况再次进行排除； ③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选； ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 规律方法 上述求解是利用了“区间逐步缩小法”的思想 【归纳总结】 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 例2 请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的正数根（精确到 0.1）. 解：（1）列表. 依次取 x = 0，1，2，3… x 0 1 2 3 … x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 … 由上表可发现，当 2＜x＜3 时，-1＜ x2 - 2x -1 ＜2； 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 （2）继续列表，依次取 x = 2.1，2.2，2.3，2.4，2.5… 由表发现，当 2.4＜x＜2.5 时，- 0.04＜x2 - 2x - 1＜0.25； x 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2 - 2x - 1 - 0.79 - 0.31 - 0.04 0.25 … （3）取 x = 2.45，则 x2 - 2x - 1 ≈ 0.1025. ∴2.4＜x＜2.45. ∴x ≈ 2.4. 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 【练一练】1.根据题意，列出方程，并估算方程的解： 一面积为 120 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，苗圃的长和宽各是多少？ 解：设苗圃的宽为 x m，则长为(x + 2) m ，根据题意，得 120 m2 (x + 2) m x m 根据题意 x 的取值范围大致是 0＜x＜11. x · (x + 2) = 120. 即 x2 + 2x - 120 = 0. 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 由上可知，x 的取值范围大致是 0＜x＜11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在 0＜x＜11这个范围内取值计算，逐步逼近): x … … x2 + 2x – 120 … … 8 9 10 11 -40 -21 0 23 所以 x = 10.因此这苗圃的长是 12 米，宽是 10 米. 探究点2：一元二次方程解的估算 新知探究 解一元二次方程 “区间逐步缩小” 方法 确定其解的大致范围 列表、计算 区间逐步缩小 …… 求得近似解 课堂小结 1. 一元二次方程(x＋2)(x－1)＝0的根为(　C　) A. x＝－2 B. x＝1 C. x＝－2或1 D. x＝2或－1 2. 若关于x的一元二次方程x2－x－m＝0的一个根 是x＝1，则m的值是(　B　) A. 1 B. 0 C. －1 D. 2 C B 当堂反馈 3. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若4a－ 2b＋c＝0，则它的一个根是(　A　) A. －2 B. － C. －4 D. 2 4. [高频易错]若关于x的一元二次方程(m＋2)x2＋ 3x＋m2－4＝0有一根为0，则m＝ . 易错通关：需考虑系数m＋2满足什么条件？ A 2　 当堂反馈 5. 观察下表，确定一元二次方程x2－2x－2＝0的一个近似解的取值范围. x x2－2x－2 2.1 －1.79 2.2 －1.56 2.3 －1.31 2.4 －1.04 2.5 －0.75 2.6 －0.44 2.7 －0.11 2.8 0.24 解：由表可发现， 当2.7＜x＜2.8时， －0.11＜x2－2x－2＜0.24. 故原方程的一个近似解的 取值范围为2.7＜x＜2.8. 当堂反馈 6. 已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个 根分别为2和3，求b与c的值. 解：将x＝2和x＝3代入方程， 得 解得 解：将x＝2和x＝3代入方程， 得 解得 当堂反馈 7. [整体思想]已知x＝m是方程x2－2x－1＝0的一 个实数根，求2m(m－2)－5的值. 解：∵x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个实数根， ∴m2－2m－1＝0. ∴m2－2m＝1. ∴2m(m－2)－5＝2m2－4m－5＝2(m2－2m)－5＝ 2×1－5＝－3. 解：∵x＝m是方程x2－2x－1＝0的一个实数根， ∴m2－2m－1＝0. ∴m2－2m＝1. ∴2m(m－2)－5＝2m2－4m－5＝2(m2－2m)－5 ＝2×1－5＝－3. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $