2.2 第3课时 公式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦北师大版九年级上册“一元二次方程的解法——公式法”，核心内容包括求根公式推导、公式法应用及根的判别式。课堂导入通过复习配方法步骤及具体解方程实例，衔接旧知引导学生用配方法推导一般形式方程的求根公式，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点在于以“合作探究”推动求根公式推导，培养学生推理能力，通过判别式表格、填一填及例题练一练，强化抽象能力与应用意识。课堂小结结构化呈现步骤，学生能提升逻辑思维与问题解决能力，教师可借助清晰流程提高教学效率。

第3课时 公式法 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 北师版 九年级（上） 1. 经历求根公式的推导过程.（难点） 2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3. 理解并会求一元二次方程根的判别式. 4. 会用判别式判断一元二次方程根的情况. 素养目标 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ? 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； 四、直接开平方法解方程. 解：x2 + 2x = ，即 (x + 1)2 = . 复习导入 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 吗？ 探究点1：用公式法解一元二次方程 【合作探究】 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多. 新知探究 解：方程两边都除以 a，得 移项，得 配方，得 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 吗？ 探究点1：用公式法解一元二次方程 新知探究 因为 a ≠ 0，所以 4a2＞0. 当 b2 - 4ac≥0 时， 是一个非负数， 此时两边开平方，得 即 探究点1：用公式法解一元二次方程 新知探究 求根公式： 【归纳总结】 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 用公式法解一元二次方程的前提是： 注意： 1. 必须是一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)； 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 探究点1：用公式法解一元二次方程 新知探究 例1 解方程. （1）x2 - 7x - 18 = 0 解：这里 a = 1，b = -7，c = -18， 因为 b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121＞0. 即 x1 = 9，x2 = -2. 所以 探究点1：用公式法解一元二次方程 新知探究 解：将原方程化为一般式： 4x2 - 4x + 1 = 0. 即 这里 a、b、c 的值分别是什么？ （2）4x2 + 1 = 4x. 这里 a = 4，b = -4，c = 1， 因为 b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0. 所以 探究点1：用公式法解一元二次方程 新知探究 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根. 【要点归纳】 探究点1：用公式法解一元二次方程 新知探究 10 (1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 − 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 原方程无实数根. (x - 1)2 = -2 当 b2 - 4ac＜0 时， ∴ 此时方程无实数根. 探究点2：一元二次方程根的判别式 尝试·思考 新知探究 两个不等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 − 4ac 来判定。我们把 b2 − 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。 b2 − 4ac ＞ 0 b2 − 4ac = 0 b2 − 4ac ＜ 0 Δ ≥ 0 【归纳总结】 判别式的情况 Δ ＞ 0 Δ = 0 Δ ＜ 0 根的情况 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 12 根的情况 0 5 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不等的实数根 Δ 【填一填】 根的判别式使用方法 3.判别根的情况，得出结论. 1.化为一般式，确定 a，b，c 的值. 2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 13 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0 C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0 解析：由题知，方程有两个不相等的实数根， 则 b2 - 4ac＞0，同时要求二次项系数不为 0， 即 (-2)² + 4k > 0，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故选 B. B 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 14 【练一练】1.不解方程，判断下列方程根的情况． (1) 3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1). 解：(1) 这里 a = 3，b = 4，c = -3。 (2) 将原方程化为一般形式，得 4x2 - 12x + 9 = 0， 因为 b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 因为 b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9 = 0， 所以方程有两个相等的实数根． 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 15 (3) 7y = 5(y2 + 1). (3) 将原方程化为一般形式，得 5y2 - 7y + 5 = 0。 因为 b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. 所以方程无实数根． 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 2.用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 所以 解：这里 a = 1，b = −4，c = −7。 因为 b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 (2) 2x2 − x + 1 = 0； 解：这里 a = 2，b = − ，c = 1。 因为 b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0， 所以 即 x1 = x2 = 。 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 (3) 5x2－3x = x + 1； 这里 a = 5，b = －4，c = －1。 因为 b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. 解： 将原方程化为一般形式，得 5x2－4x－1 = 0。 即 所以 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 (4) x2 + 17 = 8x. 所以方程没有实数根。 这里 a = 1，b = −8，c = 17。 因为 b2 − 4ac = (−8)2 − 4×1×17 = −4＜0。 解：将原方程化为一般形式，得 x2－8x + 17 = 0。 探究点2：一元二次方程根的判别式 新知探究 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 根的判别式 b2 - 4ac 课堂小结 1. 一元二次方程x2－5x＋4＝0根的判别式的值是 (　C　) A. 21 B. 16 C. 9 D. 1 C 当堂反馈 2. 一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是 (　B　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 B 当堂反馈 3. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是 (　D　) A. 2x2－6x＋1＝0 B. 3x2－x－5＝0 C. x2＋x＝0 D. x2－4x＋4＝0 4. 若方程x2－4x＋k＝0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 ⁠. D k＜4　 当堂反馈 5. 用公式法解下列方程： (1)x2－5x－6＝0； 解：a＝ ，b＝ ，c＝ ⁠. ∵Δ＝ ＞0， ∴x＝ ⁠. 即x1＝ ，x2＝ ⁠. 1　 －5　 －6　 (－5)2－4×1×(－6)＝49　 　 6　 －1　 书写通关 当堂反馈 (2)x2－3 x＋4＝0； 解：x1＝2 ，x2＝ . (3)16x2＋8x＝3； 易错通关：先化为一般式，再确定a， b，c的值，注意其符号. 解：x1＝ ，x2＝－ . (4)4x(x－1)＝－3. 解：无实数根. 解：x1＝2 ，x2＝ . 解：x1＝ ，x2＝－ . 解：无实数根. 5. 用公式法解下列方程： 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $