2.1 第1课时 一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数确定，通过复习方程和一元一次方程导入，以“想一想”衔接新知，结合地毯铺设、梯子滑动等实际问题构建探究支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于以实际问题情境引导学生抽象数量关系，发展数学眼光，通过议一议总结方程特点培养推理意识，结合视频资源及对比表格强化概念辨析。学生能提升抽象能力与模型意识，教师可高效开展概念教学与应用训练。

2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 北师版 九年级（上） 1. 理解一元二次方程的概念.（重点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点） 素养目标 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程(组)及分式方程，其中前两种方程属于整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程叫作一元一次方程. 想一想：什么是一元二次方程呢？ 复习导入 探究点：一元二次方程的相关概念 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 思考：问题中有哪些等量关系？ 地毯的长×宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 新知探究 问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯 ，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？ 解：如果设所求的宽为 x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程： (8 - 2x) (5 - 2x) x x (8 – 2x) x x (5 – 2x) ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18.① 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果将这五个连续整数中的第一个数设为 x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. ② 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　　　m.如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m， 根据题意，可得方程： 问题3：如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 6 (x + 6) (x + 6)2 + 72 = 102. ③ 10 m 8 m 1 m x m 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 2x2 - 13x + 11 = 0 ① x2 - 8x - 20＝0 ② x2 + 12 x - 15 = 0 ③ 1.只含有一个未知数； 2.未知数的最高次数是 2； 3.整式方程． 方程 ①、②、③ 都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点： ( 8 - 2x)( 5 - 2x) = 18 ① x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2 ② (x + 6)2 + 72 = 102 ③ 【议一议】 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 称为二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一次项，b 称为一次项系数； c 称为常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时， bx＋c = 0， 当 a ≠ 0， b = 0 时， ax2＋c = 0， 当 a ≠ 0， c = 0 时， ax2＋bx = 0， 当 a ≠ 0，b = c =0 时， ax2 = 0， 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义． 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简为 x2 - 3x + 2 = 0 化简为 -1 = 12x + 9 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 是否为整式方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 不是一元二次方程 是否满足“一元”和“二次” 是一元二次方程 不是一元二次方程 是 否 识别一元二次方程的方法： 是 否 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 (8) 2 - - 6 = 0. 1.判断下列方程是否为一元二次方程：  × × × ×  × × (1) x² + x = 36； (3) x + 3y =36； (5) x + 1 = 0； (7) ax² + bx + c = 0； (2) x3 + x² = 36； (4) - = 0； (6) = 6； 【练一练】 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 13 例2 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1)x | a |+1－2x－7 = 0. 解：(1)将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. (2)由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时， 原方程是关于 x 的一元二次方程. 方法总结：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可求解． 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax + b = 0 (a ≠ 0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 都是整式方程，且只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 例3 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号. 注意 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 一元二次方程一般式 点击视频开始播放 探究点：一元二次方程的相关概念 新知探究 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2. 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二次方程的前提条件 课堂小结 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是(　D　) A. x－2y＝2024 B. x2＋1＝ C. x2－2y＋1＝0 D. x2－2x＋1＝0 D 2. 将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式(a＞0) 后，一次项系数为(　B　) A. 4 B. －4 C. －1 D. 1 B 当堂反馈 3. 两个连续奇数的平方和为130，若设较小的数为 x，则可列方程为 ⁠. x2＋(x＋2)2＝130　 4. [高频易错]若方程(m－1)x｜m｜＋1＋2mx－3＝0是 关于x的一元二次方程，则m的值为 ⁠. －1　 当堂反馈 5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式(a＞ 0)，并写出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)3x2－1＝2x； 解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－2，常数项为－1. (2)x(x－2)＝4x2－3x. 解：(2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－1，常数项为0. 解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－2，常数项为－1. 解：(2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3， 一次项系数为－1，常数项为0. 当堂反馈 6. 根据下列问题，列出一元二次方程，并化为一般 形式. (1)在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶 上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，要使整个挂 图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm； 解：(1)根据题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5000， 化为一般形式为4x2＋260x－1000＝0. 解：(1)根据题意得(80＋2x)(50＋2x)＝5000， 化为一般形式为4x2＋260x－1000＝0. 当堂反馈 (2)如图，某中学有一块矩形场地，计划在该场地上 修筑宽都为1m的两条互相垂直的道路(阴影部分)， 余下的四块矩形小场地建成草坪.若矩形场地的长与 宽之比为2∶1，并且四块草坪的面积之和为 144m2，设这块矩形场地的宽为xm. 解：(2)由题意得(2x－1)(x－1)＝144， 化为一般形式为2x2－3x－143＝0. 解：(2)由题意得(2x－1)(x－1)＝144， 化为一般形式为2x2－3x－143＝0. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $