1.3 第2课时 矩形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦矩形的判定，核心知识点包括矩形定义及“对角线相等的平行四边形是矩形”“有三个角是直角的四边形是矩形”两个判定定理。课堂导入通过复习矩形定义和边、角、对角线性质，搭建新旧知识联系，为新知探究提供学习支架。 其亮点在于借助平行四边形活动框架视频引导学生观察猜想，结合“证一证”环节培养推理能力，“议一议”中检查门框实例让学生用数学眼光观察现实世界。课堂小结系统梳理判定方法，帮助学生构建知识体系，提升数学思维，教师可依托此资料高效开展教学，助力学生掌握判定应用。

1.3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理；（重点） 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 素养目标 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 复习导入 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 点击视频 开始播放 新知探究 （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC，AB∥DC. 又∵ BC = BC， AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC = ∠DCB. ∵ AB∥CD，∴∠ABC + ∠DCB = 180°. ∴ ∠ABC = ∠DCB = ×180° = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 【证一证】已知：如图，在□ ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. A B C D 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵ AC = BD， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. A D C B 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 【归纳总结】 新知探究 理由 对角线相等的平行四边形是矩形. 【议一议】你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形? 如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查? 请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 1.先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 2. 再用绳子测量对角线是否相等. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 　例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC， OB = OD = BD. 又∵ OA = OD， ∴ AC = BD. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴∠BAD = 90°. 又∵∠OAD = 50°， ∴∠OAB = 40°. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是 （　　） A．AC = BD B．AC = BC C．AD = BC D．AB = AD A A D C B O 【练一练】 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 2. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形. 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，DO = BO. 又∵∠1 = ∠2， ∴ AO = BO.∴ AC = BD. ∴ □ABCD 是矩形. 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 11 例2 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求▱ABCD 的面积。 A D C B O 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD。 又∵△ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB = AB = 4。 ∴ OA = OB = OC = OD = 4。 ∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8。 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 A D C B O ∴▱ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。 ∴∠ABC = 90°(矩形的四个角都是直角)。 ∴BC = = = 。 ∴S▱ABCD = AB·BC = 。 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AB² + BC² = AC²， 探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形 新知探究 想一想 至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？ (2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？ (3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 不是矩形 不是矩形 矩形 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 新知探究 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 【证一证】 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 新知探究 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A =∠B =∠C = 90°， ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 【知识要点】 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 新知探究 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 新知探究 【练一练】3. 如图，□ ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：在□ ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAB +∠ABC = 180°. ∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、 ∠ABC 的平分线， A B D C H E F G ∴ 四边形 EFGH 为矩形． 同理可得∠FEH =∠EHG = 90°， ∴∠AFB = 90°. ∴∠GFE = 90°. ∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°. 探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形 新知探究 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课堂小结 1. 如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是 (　C　) A. AB＝BC B. AC⊥BD C. ∠ABC＝90° D. ∠1＝∠2 C 当堂反馈 2. 判断(对的打“√”，错的打“×”)： (1)内角都相等的四边形是矩形. ⁠ (2)对角线相等的四边形是矩形. ⁠ (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形. ⁠ (4)一组邻角相等的平行四边形是矩形. ⁠ (5)对角互补的平行四边形是矩形. ⁠ √　 ×　 √　 √　 √　 当堂反馈 3. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点， DE∥AC，CE∥BD，连接OE. 若AC＝12，BD ＝16，则OE的长为 ⁠. 10　 当堂反馈 4. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC， CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA≌△EAC； (1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). (1)证明：在△DCA和△EAC中， ∴△DCA≌△EAC(SSS). (2)只需添加一个条件，即 ， 可使四边形ABCD为矩形.请说明理由. AD＝BC　 当堂反馈 (2)解：理由如下：∵AB＝DC，AD ＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边 形.∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝ 90°. ∴四边形ABCD为矩形(答案不唯一). (2)解：理由如下：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵CE⊥AE， ∴∠E＝90°. ∵△DCA≌△EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD为矩形(答案不唯一). 当堂反馈 5. 如图，▱ABCD中，P是AB边上的一点(不与点 A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交 AD于点Q，连接CQ. (1)若CQ平分∠DCP，求证：四边形ABCD是矩 形； (1)证明：∵PQ⊥CP， ∴∠CPQ＝90°. ∵CQ平分∠DCP， ∴∠DCQ＝∠PCQ. 当堂反馈 又∵CD＝CP，CQ＝CQ， ∴△DCQ≌△PCQ(SAS). ∴∠D＝∠QPC＝90°. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 当堂反馈 (2)在(1)的条件下，当AP＝2，CB＝4时，求CD 的长. (2)解：∵CP＝CD， ∴设CP＝CD＝x，则PB＝x－2. 在Rt△BCP中，BP2＋BC2＝CP2， ∴(x－2)2＋42＝x2.∴x＝5.∴CD＝5. (2)解：∵CP＝CD， ∴设CP＝CD＝x，则PB＝x－2. 在Rt△BCP中，BP2＋BC2＝CP2， ∴(x－2)2＋42＝x2.∴x＝5.∴CD＝5. 5. 如图，▱ABCD中，P是AB边上的一点(不与点 A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交 AD于点Q，连接CQ. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 Lavf57.83.100 $