1.4 第1课时 正方形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦正方形的性质，通过复习平行四边形、矩形、菱形的边、角、对角线性质表格，结合正方形定义及与矩形、菱形的交集关系，搭建从已有知识到新知的学习支架。 其亮点在于以观察思考和推理证明为主线，用韦恩图直观呈现四边形关系，通过“证一证”活动培养推理能力，例题及变式题（如等边三角形与正方形结合的分类讨论）发展空间观念和规范表达。课堂小结与当堂反馈助力学生巩固，教师可借分层练习提升教学效率。

1.4 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力 和数学表达能力.(重点、 难点) 2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点） 素养目标 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 角 对角相等，邻角互补 对角线 对角线互相平分 四个角都是直角 对角线相等 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 复习导入 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 正方形定义： 复习导入 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 观察·思考 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有. 总结 探究点：正方形的性质 新知探究 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系： 四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 韦恩图： 探究点：正方形的性质 新知探究 探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。 A B C D O 探究点：正方形的性质 新知探究 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质 A B C D O 探究点：正方形的性质 新知探究 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD. 【证一证】(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角. A B C D 探究点：正方形的性质 新知探究 (2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD. A B C D O 证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. 探究点：正方形的性质 新知探究 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 性质\图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行且相等 四边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相互平分 对角线相互垂直 对角线相等 每条对角线平分一组对角 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 探究点：正方形的性质 新知探究 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下： ①∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的 四条边相等，四个角都是直角)。 ∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵ CE = CF， A B D C F E ∴ △BCE≌△DCF (SAS). ∴ BE = DF. 探究点：正方形的性质 新知探究 A B D F E ② 延长 BE 交 DF 于点 M. ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF = 90°， ∴∠CDF +∠F = 90°. ∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°， ∴ BE⊥DF. 综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF. C M 探究点：正方形的性质 新知探究 例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°. 证明：∵ △BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°. ∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°. ∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°. ∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°. 探究点：正方形的性质 新知探究 【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小． 解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 探究点：正方形的性质 新知探究 当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况． 探究点：正方形的性质 新知探究 【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC =∠DCB = 90°． ∵ PB = PC， ∴∠PBC =∠PCB． ∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB， 即∠ABP =∠DCP． 又∵ AB = DC，PB = PC， ∴△APB≌△DPC． 探究点：正方形的性质 新知探究 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠DAC = 45°． ∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP． 又∵AP = AB = AD， ∴ DP = AP = AD， 即 △APD 是等边三角形． ∴∠DAP = 60°． ∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°． ∴∠BAP = 2∠PAC． （2）求证：∠BAP = 2∠PAC． 探究点：正方形的性质 新知探究 【尝试·交流】 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1) 在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 条件：另外两个顶点在正方形对角线 BD 上，且关于AC 对称(或到 AC 与 BD 交点的距离相等)。 理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中 BD⊥AC 且互相平分，满足菱形性质。 A B C D O E F 探究点：正方形的性质 新知探究 (2) 在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。 A B C D O 条件：AE＝CG、AH＝CF (或邻边互相垂直)。 理由：可证 EFGH 是平行四边形且有直角，符合矩形定义。 E F G H 探究点：正方形的性质 新知探究 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 课堂小结 1. 正方形具有而菱形不具有的性质是(　C　) A. 对角线互相垂直平分 B. 内角之和为360° C. 对角线相等 D. 一条对角线平分一组对角 C 当堂反馈 2. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O. (1)∠ABO＝ °，∠AOB＝ °； 45　 90　 (2)若正方形ABCD的面积为9，则AB＝ ，对 角线BD的长为 ⁠； (3)图中共有 个等腰直角三角形. 3　 3 　 8　 当堂反馈 3. 如图，正方形ABCD的顶点B，C都在x轴上， 若点A的坐标是(－2，8)，点C的坐标是(6，0)，则 点D的坐标是 ⁠. (6，8)　 当堂反馈 4. 如图，E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等 边三角形，则∠ADE＝ ⁠°. 75　 当堂反馈 5. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C 到直线l的距离分别为3和5，则正方形ABCD的面积 为 ⁠. 34　 当堂反馈 ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，BD垂直平分AC. ∴AP＝CP. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°，BD垂直平分AC. ∴AP＝CP. ∵PE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠BCD＝90°. ∴四边形PECF为矩形. ∴CP＝EF. ∴AP＝EF. 6. 如图，过正方形ABCD的对角线BD上一点P， 作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP， EF. 求证：AP＝EF. 证明：如图，连接AC，PC. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $