2.2.2一元二次方程的解法-第2课时 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 课件 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，通过对比二次项系数为1与不为1的方程，联系化简关系引导转化思路，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以例题规范步骤并归纳“化、配、移、开、解”流程，结合小球高度、商场盈利等实际问题培养模型意识，注意事项强调符号与检验提升运算能力。学生能掌握方法并应用，教师可高效开展教学。

2.2.2 一元二次方程的解法 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程； 2.能够列一元二次方程解决简单的实际问题，建立模型思想，增强数学应用意识和能力. 学习目标 问 题 观察下面两个一元二次方程的联系和区别. ①x2 ＋ 6x ＋ 8 ＝ 0； ②2x2 ＋ 12x ＋ 16 ＝ 0. 联系：方程2x2 ＋ 12x ＋ 16 ＝0 通过化简可得到 x2 ＋ 6x ＋ 8＝0； 区别：方程2x2 ＋ 12x ＋ 16 ＝0 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是方程x2 ＋ 6x ＋ 8 ＝ 0的2倍. 如何用配方法解系数不是1的一元二次方程？ 新课引入 例1 解方程： 解：两边同时除以3，得 ， 可以先将二次项系数化为1. 配方，得 ， 即 ， 移项，得 . 两边开平方，得 ， 即 或 . 所以 ， . 新知学习 用配方法解一元二次方程的一般步骤. (1)化：化二次项系数为1； (2)配：配方，使原方程变为(x ＋ m)2 － n＝ 0的形式； (3)移：移项， 使方程变为(x ＋ m)2 ＝ n的形式； (4)开： 如果n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝± ； (5)解：方程的解为x＝－m± .另外，如果是解决实际问题， 还 要注意判断求得的结果是否合理. 归纳总结 新知学习 思考·交流 (1)一个小球从地面以 15m/s 的初速度竖直向上弹岀. 它在空中的高度 h (单位：m) 与时间 t (单位：s)满足关系： h ＝ 15t － 5t2. 小球何时能达到 10m 高？ 解：由题可列方程 15t － 5t2 ＝ 10 ， 整理，得 t2 － 3t ＋ 2 ＝ 0， 解得 所以在1s时，小球达到10m ；至最高点后下落，在2s时，其高度又为10m. 新知学习 思考·交流 (2)你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面？ ①先化二次项系数为 1 若方程为ax2＋bx＋c＝0 (a≠1)，必须先在等式两边同时除以a，将方程化为 x2＋px＋q＝0 的形式，再进行配方，否则无法直接凑完全平方； ②移项要变号 配方前需将常数项移到等式右侧，移项时注意变号，避免符号错误； ③配方的核心是 “加一次项系数一半的平方” 配方时必须在等式两边同时加同一个数，且是 “一次项系数一半的平方”，不是 “一次项系数的平方的一半”； 新知学习 思考·交流 (2)你认为用配方法解一元二次方程时，要注意哪些方面？ ④开平方的正负性 完全平方式开平方时，要保留±两个符号，不能只取正号，否则会漏解； ⑤实际问题要检验解的合理性 如本题的时间t必须为正数，若解出负数或不符合实际的数值，需舍去； ⑥符号细节 若二次项系数为负数，除以负数时等式两边的符号会改变，需注意每一步的符号运算，避免出错. 新知学习 变 式 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件.若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 解：设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利 1200 元. 由题可列方程 (40－x)(20＋2x)＝1200，整理，得 x2 － 30x ＋ 200 ＝ 0， 配方，得x2 － 30x ＋152 ＝ －200＋152，即 . 所以 . 即 (舍)， 答：每件衬衫应降价20元. 新知学习 一般地，一个一元二次方程通过配方转化成 ( x ＋ m )2 ＝ n. ①当 n > 0 时，则 ，方程的两个根为 ②当 n ＝ 0 时，则 ( x ＋ m )2 ＝ 0，方程的两个根为 x1 ＝ x2 ＝ －m. ③当 n < 0 时，则方程 ( x ＋ m )2 ＝ n 无实数根. 归纳总结 新知学习 1.用方程3x2 － 12x － 6＝0化成(x － p)2＝q(p、q为常数)的形式，则p、q的值分别为( ) B 2.用配方法解方程2x²－4x＝3时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上 . 1 A．p＝ － 2，q＝6 B．p＝ 2，q＝6 C．p＝ 2，q＝4 D．p＝ －2，q＝4 随堂练习 3.解下列方程： (1)3x2 －6x ＋ 4＝0； 解：移项，得 ， 两边同时除以3，得 . 配方，得 ， 即 ， ∵ ， ∴所以原方程无实数根． 随堂练习 3.解下列方程： (2)2x2 ＋ 1＝3x； 解：移项，得 2x2 － 3x ＝ －1 二次项系数化为1，得 配方，得 即 两边开平方，得 解得 随堂练习 4.已知a，b，c为△ABC 的三边长，且满足等式a²＋b²＋c²－ab－ac－bc＝0，试判断△ABC 的形状. 解析：将等式两边都乘以2，以便更容易地应用完全平方公式，通过识别并应用完全平方公式，将等式转化为三个平方项的和等于0的形式.由于平方数总是非负的，所以这三个平方项都必须等于0. 配方，得 ， 解：对原式左右同乘2，得 ， 由非负式的性质可知，(a－b)²＝0，(a－c)²＝0，(b－c)²＝0，a＝b＝c ， 所以 △ABC 为等边三角形. 随堂练习 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4 cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为 cm/s，点Q的速度为1 cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为 cm²，求点P运动的时间. 解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为 cm²， 则BP为(4－ t)cm，BQ为tcm. ∵∠ABC＝90°， 由三角形的面积计算公式列方程得， ， 解得t₁＝3，t₂＝5(舍去，不合题意). ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为 cm². 随堂练习 关键 步骤 (1)化：化二次项系数为1； (2)配：配方，(x ＋ m)2 － n＝ 0 (3)移：移项， (x ＋ m)2 ＝ n (4)开：n≥0，两边开平方得x＋m＝± ； n<0，方程无解. (5)解：方程的解为x＝ －m± . 注意：如果是解决实际问题，要判断求得的 结果是否合理. 先将二次项系数化为1. 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 课堂小结 $