1.4 第2课时 正方形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过复习正方形定义、性质及矩形、菱形判定方法，借助折叠矩形纸片、活动菱形框架等操作，引导学生从已知知识自然过渡到正方形判定条件的探究，搭建清晰的学习支架。 其亮点在于以动手操作培养几何直观与空间观念，通过逻辑证明（如对角线垂直的矩形是正方形的推导）发展推理能力，中点四边形探究结合表格归纳体现模型意识。实例丰富如折叠验证矩形变正方形条件，帮助学生提升逻辑思维与探究能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

1.4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力. 2. 探究并证明正方形的判定定理.(重点) 3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.(难点) 素养目标 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. O 正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分. 复习导入 问题2 你是如何判定矩形、菱形的？ 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 复习导入 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 探究点1: 正方形的判定 新知探究 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 【证一证】 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 探究点1: 正方形的判定 新知探究 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 探究点1: 正方形的判定 新知探究 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 【证一证】 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 探究点1: 正方形的判定 新知探究 常用的正方形判定方法： 定义法 矩形法 菱形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 【归纳总结】 探究点: 正方形的判定 新知探究 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 【归纳总结】 探究点1: 正方形的判定 新知探究 1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD D．AO = CO，BO = DO，AB = BC C A B C D O 【练一练】 探究点1: 正方形的判定 新知探究 例1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. F A B E C D 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 探究点1: 正方形的判定 新知探究 ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形(菱形的定义). 在△EBC 中， ∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 180° -∠EBC - ∠ECB = 180° - 2×45° = 90°。 ∴菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形)。 又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°. F A B E C D 探究点1: 正方形的判定 新知探究 探究点1: 正方形的判定 证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC =∠DFC = 90°. 又∵∠C = 90°， ∴ 四边形 CEDF 是矩形. 过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AD 是∠CAB 的平分线， ∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF. ∴ 四边形 CEDF 为正方形. 【练一练】2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形. A B C D E F G 新知探究 【做一做】 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ C A B D E F G H EH∥AC EH = AC 三角形 中位线定理 E，H 分别是 AB，BC 中点 同理， FG∥AC， FG = AC EH = FG，EH∥FG 四边形 EHGF 是平行四边形 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 【做一做】如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 A B C D 拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC、BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. E F G H 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 H G F E D C B A 解：连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = GH = FG = EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 解：连接 AC，BD. ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD， ∴∠AOB = 90°. ∴∠HEF = 90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ A B C D O E F G H 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD 且 FG = BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. A B C D O H G F E 拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD. ∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°. ∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°. ∴四边形 EFGH 为正方形. A B C D O H G F E 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 【归纳总结】 菱形 矩形 正方形 平行四边形 平行四边形 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 【归纳总结】 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系. 探究点2: 中点四边形问题 新知探究 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课堂小结 1. 当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成 (　C　) A. 菱形 B. 等腰梯形 C. 正方形 D. 无法确定 C 2. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形， 那么这个条件可以是(　D　) A. ∠D＝90° B. AB＝CD C. AD＝BC D. BC＝CD D 当堂反馈 3. 如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O. 若不添加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 ⁠. AC＝BD(答案不唯一) 4. 在▱ABCD中，AC，BD为对角线，如果AB＝ BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是 ⁠. 正方形　 当堂反馈 5. 如图，EG，FH都过正方形ABCD对角线的交 点O，且EG⊥FH. 求证：四边形EFGH是正方 形. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°， ∠BOC＝90°， 即∠COH＋∠BOH＝90°. ∵EG⊥FH， 当堂反馈 ∴∠EOH＝90°，即∠BOE＋∠BOH＝90°. ∴∠COH＝∠BOE. 在△CHO和△BEO中，∵ ∴△CHO≌△BEO. ∴OE＝OH. 在△CHO和△BEO中，∵ ∴△CHO≌△BEO. ∴OE＝OH. 同理可证：OE＝OF＝OG，∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴EG＝HF，四边形EFGH是平行四边形. ∴四边形EFGH是矩形. 又∵EG⊥FH， ∴四边形EFGH是正方形. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $