第一章 特殊平行四边形【章末复习】（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）的性质、判定及从属关系，通过定义-性质-判定的逻辑链条串联知识点，结合对比表格明确三者边、角、对角线的异同，帮助学生建立从一般到特殊的知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层练习设计，如菱形对角线计算结合勾股定理培养几何直观，矩形判定证明强化推理能力，正方形机器人情境题提升应用意识。易错点总结针对性解决性质混淆等问题，帮助学生精准突破，教师可通过统一题型和详细解析高效开展复习教学。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第一章 特殊平行四边形 章末复习 2026年8月2日 第一章 特殊平行四边形 综合同步练习题 第一章 特殊平行四边形 综合同步练习 （排版、分值、题型和前后所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 一、菱形的性质与判定 1. 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2. 菱形核心性质 ① 边：四条边全部相等，对边平行； ② 角：对角相等，邻角互补（和平行四边形一致）； ③ 对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角； ④ 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条对称轴）。 3. 菱形判定定理 ① 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 四边相等的四边形是菱形； ③ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4. 菱形面积公式（必考） 面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半。 二、矩形的性质与判定 1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 矩形核心性质 ① 边：对边平行且相等； ② 角：四个角都是直角； ③ 对角线：互相平分且相等； ④ 推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半（高频考点）； ⑤ 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条对称轴）。 3. 矩形判定定理 ① 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 三个角是直角的四边形是矩形； ③ 对角线相等的平行四边形是矩形。 三、正方形的性质与判定 1. 正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（最特殊的平行四边形）。 2. 正方形核心性质 兼具菱形和矩形所有性质： ① 四条边相等，四个角都是直角； ② 对角线相等、垂直、互相平分，且平分一组对角； ③ 对称性：四条对称轴，既是中心对称、又是轴对称图形。 3. 正方形判定定理 ① 一组邻边相等的矩形是正方形； ② 有一个角是直角的菱形是正方形； ③ 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。 四、三种图形从属关系 正方形 ⊂ 矩形、菱形 ⊂ 平行四边形，正方形同时属于矩形和菱形，具备所有特殊性质。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列不属于菱形性质的是（） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对边平行 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边平行 D. 对角线互相平分 3. 下列图形中对称轴最多的是（） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 平行四边形 4. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是（） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 普通平行四边形 5. 直角三角形斜边长为10，则斜边中线长为（） A. 10 B. 5 C. 20 D. 无法确定 6. 下列说法正确的是（） A. 四边相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 有一个直角的菱形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 菱形的对角线互相________，矩形的对角线互相________且________。 2. 正方形的对角线既________又________，且互相平分。 3. 菱形的面积等于底乘高，也等于________。 4. 直角三角形斜边中线等于________。 5. 一组邻边相等的矩形是________，有一个角是直角的菱形是________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）菱形基础计算： 已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， （1）求该菱形的边长； （2）求该菱形的面积。 2. （14分）矩形性质应用： 已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=12cm， （1）求BO的长度； （2）若∠AOB=60°，求矩形的短边AB的长度。 3. （14分）菱形证明题： 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形。 4. （16分）正方形综合证明： 已知矩形ABCD中，AB=BC，求证：矩形ABCD是正方形。 四、拓展应用题（附加10分） 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边AB=16，点D是AB中点，求CD的长；若将CD延长至E，使DE=CD，连接AE、BE，判断四边形AEBC的形状并说明理由。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 二、填空题 1. 垂直、平分、相等 2. 垂直、相等 3. 对角线乘积的一半 4. 斜边的一半 5. 正方形、正方形 三、解答题 1. 解： （1）菱形对角线互相垂直平分， 对角线一半分别为：$$6\div2=3\mathrm{cm}$$，$$8\div2=4\mathrm{cm}$$ 由勾股定理得边长：$$\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$$ （2）菱形面积 = 对角线乘积的一半 $$S=\dfrac{1}{2}\times6\times8=24\mathrm{cm}^2$$ 答：菱形边长为5cm，面积为24cm²。 2. 解： （1）矩形对角线相等且互相平分， $$BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}AC=6\mathrm{cm}$$ （2）∵ AO=BO，∠AOB=60° ∴ △AOB为等边三角形 ∴ $$AB=AO=6\mathrm{cm}$$ 答：BO长6cm，AB长6cm。 3. 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且$$AC\perp BD$$ 根据菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∴ 平行四边形ABCD是菱形。 4. 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A、∠B、∠C、∠D均为直角，对边相等 又∵ $$AB=BC$$，即矩形一组邻边相等 根据正方形判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形 ∴ 矩形ABCD是正方形。 拓展题答案 解： （1）Rt△ABC中，D为斜边AB中点， 斜边中线$$CD=\dfrac{1}{2}AB=8$$。 （2）四边形AEBC是矩形。 理由：∵ D为AB、CE中点，对角线互相平分 ∴ 四边形AEBC是平行四边形 又∵ ∠ACB=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∴ 四边形AEBC为矩形。 答：CD长为8，四边形AEBC是矩形。 章节易错点总结 1. 判定易错：对角线垂直的四边形不是菱形，必须是平行四边形才成立；对角线相等的四边形不是矩形。 2. 面积易错：菱形面积可用对角线乘积一半，矩形、正方形不适用此公式。 3. 性质混淆：菱形对角线垂直不相等，矩形对角线相等不垂直，正方形对角线既垂直又相等。 4. 直角三角形斜边中线定理只适用于直角三角形，是矩形性质的核心推论。 知识梳理 直角 互相平分且相等 一半 垂直且平分 2 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 二、菱形、矩形、正方形的判定方法 核心考点巩固 考点1 菱形的性质与判定 1.在菱形中，对角线，相交于点 ，下列结论中不一定正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 5 2.[西工大附中期中] 如图，四边形 是菱 形，，，于点 ，则 的长是( ) C A. B.6 C. D.12 返回 考试考法 6 3.在中，对角线,相交于点，且平分 。若 ,的周长为16，则对角线 的长为( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 7 4.如图，在中，点在上， ， 的平分线交于点，连接 。求证：四 边形 是菱形。 考试考法 8 证明： 四边形 是平行四边形， 。 。 平分， ， ， 。 ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 又, 四边形 是菱形。 返回 考试考法 9 5.如图，在中，对角线的垂直平分线与边， 分别相交 于点， 。 考试考法 10 解：证明：在中， , 。 对角线的垂直平分线与边，分别相交于点， ， ， , ， ， ， 四边形 是平行四边形。 又, 四边形 是菱形。 （1）求证：四边形 是菱形； 考试考法 11 （2）若,, ，求 的长。 解： 四边形是菱形，, ， 。 ， ， 即，解得 。 的长为1.6。 返回 考试考法 12 考点2 矩形的性质与判定 （第6题） 6.如图，过矩形对角线的交点 ，且分别 交，于， ，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 13 （第7题） 7.如图，在矩形中，对角线, 相交于 点，,分别是,的中点， , ，则 的周长为( ) D A.6 B.7 C. D. 返回 考试考法 14 8.[广州中考] 如图，菱形 的面积为10，点 ，，，分别为，，， 的中点， 则四边形 的面积为( ) B A. B.5 C.4 D.8 返回 考试考法 15 9. 如图，点在 的边 上， ，请从以下三个选项中，选择 一个合适的选项作为已知条件，使 为矩 形。 ；； 。 （1）你添加的条件是____________（填序号）； ①（或） 考试考法 16 （2）添加条件后，请证明 为矩形。 证明：（添加条件 ） 四边形 是平行四边形， ， 。 在和中， 。 。 ， 。 考试考法 17 。 为矩形。 （添加条件 ） 四边形 是平行四边形， ， 。 在和中， 。 。 ， 。 。 为矩形。 返回 考试考法 考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 10. 如图，一个长的梯子 斜靠在 与地面垂直的墙上，为的中点，当梯子的一端 沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时， 的 长( ) D A.先增大，后减小 B.逐渐减小 C.逐渐增大 D.不变 返回 考试考法 19 （第11题） 11.如图，菱形的对角线，交于点 ， 过点作于点，连接，若 ， ，则 的长为( ) D A.2.5 B.2 C.3.5 D.3 返回 考试考法 20 考点4 正方形的性质与判定 12.满足下列条件的四边形一定是正方形的是( ) D A.对角线互相平分的四边形 B.有三个角是直角的四边形 C.有一组邻边相等的平行四边形 D.对角线相等的菱形 返回 考试考法 21 （第13题） 13.如图，正方形的对角线,交于点, 为边 上一点，且，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 22 14.如图，在边长为4的正方形中，是边 上 一点，是边延长线上一点，连接，， 平 分，交于点,连接。若 ， 则 的长度为( ) D A.2 B. C. D. 返回 考试考法 23 15. 科技的发展提升了 我们的生活品质。如图是某公司生产 的正方形玻璃清理机器人，当机器人 到达玻璃窗的边沿清理时，机器人的 顶点，分别在玻璃框， 上， 玻璃窗的顶角 ，， 。机器人的型号 和相关数据如下，则此次参与清理的机器人是哪一种型号？ 考试考法 24 型号 对角线长 5001 5030 5075 6010 考试考法 解：如图，连接 ， 在 中， ， , 。 四边形 为正方形， ， 。 在 中， 考试考法 26 由勾股定理，得 , 由机器人的型号和相关数据可知，此次参与清理的机器人的型号是5030。 返回 考试考法 16. 如图，的对角线,交于点 ，分别以 点,为圆心，,的长为半径作弧，两弧交于点，连接, 。 考试考法 28 （1）试判断四边形 的形状，并说明理由。 解：四边形 是平行四边形。理由如下： 的对角线,交于点 ， , 。 由题意可知, ， , 。 四边形 是平行四边形。 考试考法 29 （2）当的对角线满足什么条件时，四边形 是正方形？请 说明理由。 解：当，且时，四边形 是正方形。 理由： ， 。 为矩形。 ,, , 。 矩形 为正方形。 返回 考试考法 30 谢谢观看 THANKS $