-问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“作内嵌于正方形的正八边形”，从古建筑藻井图案导入，引导学生理解内嵌定义，通过三种情形草图分析位置关系，结合正八边形特征构建从观察到作图的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合数学眼光观察空间形式，数学思维推导作图原理，通过尺规实践与反思优化，培养学生几何直观与推理能力。教师可借助结构化流程实施教学，提升学生动手与探究能力。

问题解决活动： 作内嵌于正方形的正八边形 1. 理解正八边形内嵌于正方形的定义，明确正八边形与正方形的位置关系. 2. 掌握用尺规作内嵌于正方形的正八边形的方法，能规范完成作图步骤. 3. 理解正八边形的核心特征，能结合正方形性质分析作图原理. 学习目标 在一些古建筑中可以看到不同的多边形相互嵌套的图案. 新课引入 如图所示的古建筑藻井图案中，一个正方形里面嵌套了多个正八边形. 问 题 新知学习 问 题 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形. 你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗？ 新知学习 理解问题 (1)正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图. 情形一 情形二 情形三 四个顶点分别在正方形四条边的中点处 八个顶点均在正方形的边上 新知学习 理解问题 (2)正八边形有哪些具体特征？ 各边相等； 各内角均为 135°； 各外角均为 45°； 轴对称(8条对称轴)； 中心对称(对称中心：点O). 135° 45° 新知学习 拟定计划 (1)观察你画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件. ①正八边形八个顶点到正方形对角线交点(对称中心)的距离相等； ②正八边形的每个顶点在与它相邻两个顶点连线的垂直平分线上. 新知学习 拟定计划 (2)根据你的分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路. 整理自己的思路，并与同伴进行交流. ①以正方形对角线交点为圆心，适当长为半径画圆（与正方形的边相交）； ②在正方形每条边上各选择一个交点（依次连接成正方形），即内嵌正八边形在正方形边上的四个顶点； ③作内接正方形边的垂直平分线与圆相交再得到四个点即为正八边形的剩余四个顶点. 新知学习 实施计划 (1)你的作图思路正确吗？说明你的道理. (2)请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形，并与同伴进行分享. 原理：利用正八边形的中心对称性和轴对称性. 以情形一为例： 新知学习 回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法？这些方法各有什么特点？ 作情形二： 特点：操作简单，易理解. 新知学习 回顾反思 (1)通过探究，你得到了哪些作图方法？这些方法各有什么特点？ 作情形三： 特点：操作简单，需推导角度关系. 新知学习 回顾反思 (2)在探索作图方法的过程中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流. ①探究作图的一般方法： 观察图形→分析特征→设计方案→动手验证→反思优化 ②几何作图必须以 “图形的定义和性质” 为依据，不能仅凭直观，要通过计算、证明验证合理性. 新知学习 解决问题 当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接矩形. 菱形的内接矩形有哪些不同的情况？如图，已知菱形 ABCD，请用尺规作出它的一个内接矩形. 注：在菱形边上任选一点A，以OA为半径画圆. 新知学习 1. 折纸中蕴含着很多数学知识. 小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形. 菱形 (1)将小珍剪的角展开后，其图形一定是________(填“菱形”或“矩形”)； 随堂练习 1. 折纸中蕴含着很多数学知识. 小珍和小轩分别将手中的正方形纸片按如图1所示的方法对折两次，小珍按图2中的虚线剪，小轩按图3中的虚线剪去两个角，剩余部分展开后得到一个多边形. (2)若小轩按图3剪掉两个角后，剩余图形展开后是如图4所示的边长为2cm的正八边形，图中虚线是折痕，则原正方形纸片的长为________cm. (2+2) 随堂练习 2. 如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A＝60°，AB＝6． (1)求证：四边形EFGH是矩形； 证明：∵点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴AE＝AH， ∵∠A＝60°， ∴△AEH是等边三角形，∠B＝120°， 随堂练习 2. 如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A＝60°，AB＝6． (1)求证：四边形EFGH是矩形； ∴∠AEH＝60°， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝30°， ∴∠FEH＝90°， 同理可得：∠EHG＝∠EFG＝∠FGH＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； 随堂练习 2. 如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A＝60°，AB＝6． (2)设EB＝x，四边形EFGH的面积为y，求y的最大值. 解：如解图，过点B作BP⊥EF于点P， ∵△AEH是等边三角形， ∴EH＝AE， ∵AB＝6，EB＝x， ∴AE＝EH＝6 − x， ∵BE＝BF，∴PE＝PF， P 随堂练习 2. 如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A＝60°，AB＝6． (2)设EB＝x，四边形EFGH的面积为y，求y的最大值. ∵∠BEP＝30°，∴BP = BE = x， 在Rt△BEP中，由勾股定理得： PE= = x， ∴EF=x， ∴y=(6−x)×x = 6x−x2 =−(x−3)2+9， ∴当x＝3时，四边形EFGH的面积y最大，最大值是9． P 随堂练习 尺规作内嵌于正方形的正八边形 课堂小结 $