1.3 第1课时 矩形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边中线性质，通过“平行四边形加直角条件”的问题导入，衔接旧知平行四边形，搭建从一般到特殊的知识支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以实物测量活动让学生观察矩形边、角、对角线特征（数学眼光），通过逻辑推理证明性质（数学思维），用几何语言规范表述结论（数学语言）。采用“测量-猜想-证明-应用”探究式教学，小结系统梳理性质及应用，助力学生培养探究能力与知识体系，教师可高效开展教学。

1.3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 1. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题；（重点、难点） 2. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点） 素养目标 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角”，会得到什么特殊图形？ 复习导入 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ A B C D O 角特殊化 A B C D O 探究点一：矩形的性质 新知探究 活动：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. 探究点一：矩形的性质 新知探究 A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 探究点一：矩形的性质 新知探究 证明：(1) ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC =∠CDA，∠BCD =∠DAB(矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC +∠BCD = 180°。 又∵∠ABC = 90°， ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°. 【证一证】已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：(1) ∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°. A B C D O 探究点一：矩形的性质 新知探究 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC (矩形的对边相等)。 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴ AC = DB。 A B C D O 【证一证】已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：(2) AC = BD。 探究点一：矩形的性质 新知探究 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 【知识要点】 探究点一：矩形的性质 新知探究 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD. ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 探究点一：矩形的性质 还有其他解法吗？ 新知探究 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 探究点一：矩形的性质 新知探究 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 【练一练】 探究点一：矩形的性质 新知探究 观察·思考 如图(1)，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 E。将矩形纸片沿 AC 剪开，得到图 (2) 所示的图形，BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ A 　 B 　 C 　 D 　 E 　 B C E A 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 (1) (2) 新知探究 证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE， 连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 【证一证】如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. ∴ BE = BD = AC. E C B A D 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 新知探究 例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4. ∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18. 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 新知探究 (2)求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 总结 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 新知探究 【练一练】 2.如图，已知 BD，CE 是△ABC 的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE. 解：连接 EG，DG. 由题意知∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴ EG＝ BC，DG＝ BC. ∴ EG＝DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化到等腰三角形中，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 新知探究 直角三角形斜边上的中线的性质常见模型 【归纳总结】 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质 新知探究 矩形 性质 性质应用 矩形的对角线____________ 直角三角形斜边上的中线 矩形的四个角____________ 都是直角 相等 等于斜边的一半 __________________ 课堂小结 1. 矩形具有而菱形不具有的性质是(　A　) A. 对角线相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 A 当堂反馈 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于 点O. (1)若AB＝6，AD＝8，则BD＝ ⁠； 10　 (2)若AO＝1，则AC＝ ，BD＝ ⁠； (3)若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ °， △AOB的形状是 三角形. 2　 2　 60　 等边　 当堂反馈 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC 的中点. (1)若BD＝5，则AC＝ ⁠； 10　 (2)若AB＝4，BC＝3，则BD＝ ⁠； (3)若∠C＝50°，则∠ABD的度数为 ⁠. 2.5　 40°　 当堂反馈 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于 点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. 若AB＝4cm，BC＝6cm，则图中阴影部分的面积 之和为 cm2. 12　 当堂反馈 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O. 过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E. (1)求证：AC＝AE； (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AD∥BC. 又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴BD＝AE. ∴AC＝AE. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AD∥BC. ∴四边形AEBD是平行四边形. ∴BD＝AE. ∴AC＝AE. 又∵AE∥BD， 当堂反馈 (2)若∠AOB＝120°，AE＝8，求BC的长. 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O. 过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E. (2)解：∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝60°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝ AC，OB＝ BD，AC＝BD. ∴OB＝OC. ∴△OBC是等边三角形. ∴BC＝OC＝ AC. 由(1)可知AC＝AE＝8， ∴BC＝ ×8＝4. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $